Dado |g(x)-2| <= 3(x-1)^2 para todo x, use o Teorema do Confronto para encontrar o lim x 1 g(x)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a desigualdade $ |g(x) - 2| \leq 3(x - 1)^2 $ para todo $ x $. O objetivo é encontrar o limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1, usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze). Para isso, vamos precisar saber sobre limites, valor absoluto e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a desigualdade $ |g(x) - 2| \leq 3(x - 1)^2 $. O valor absoluto $ |g(x) - 2| $ representa a distância entre $ g(x) $ e 2. A desigualdade nos diz que essa distância é no máximo $ 3(x - 1)^2 $.

Passo 3

Vamos lembrar do Teorema do Confronto, que diz que se $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $ e $ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L $, então $ \lim_{x \to a} g(x) = L $. Para aplicar esse teorema, precisamos “encaixar” $ g(x) $ entre duas funções que têm o mesmo limite quando $ x $ se aproxima de 1.

Passo 4

A partir da desigualdade $ |g(x) - 2| \leq 3(x - 1)^2 $, podemos escrever:
|g(x) - 2| <= 3(x - 1)^2
Isso porque o valor absoluto $ |A| \leq B $ implica $ -B \leq A \leq B $.

Passo 5

Agora, vamos somar 2 a todas as partes da desigualdade:
2 - 3(x - 1)^2 <= g(x) <= 2 + 3(x - 1)^2
Assim, $ g(x) $ está entre $ 2 - 3(x - 1)^2 $ e $ 2 + 3(x - 1)^2 $.

Passo 6

Vamos calcular o limite de $ 2 - 3(x - 1)^2 $ quando $ x $ se aproxima de 1:
2 - 3(x - 1)^2
Fazendo o mesmo para $ 2 + 3(x - 1)^2 $:
x

Passo 7

Pelo Teorema do Confronto, já que $ \lim_{x \to 1} [2 - 3(x - 1)^2] = \lim_{x \to 1} [2 + 3(x - 1)^2] = 2 $ e $ 2 - 3(x - 1)^2 \leq g(x) \leq 2 + 3(x - 1)^2 $, então:
limx to 1 [2 - 3(x - 1)^2] = limx to 1 [2 + 3(x - 1)^2] = 2

Resposta

limx to 1 g(x) = 2

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