Dado
para todo
, use o Teorema do Confronto para encontrar o
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a desigualdade $ |g(x) - 2| \leq 3(x - 1)^2 $ para todo $ x $. O objetivo é encontrar o limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1, usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze). Para isso, vamos precisar saber sobre limites, valor absoluto e o Teorema do Confronto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a desigualdade $ |g(x) - 2| \leq 3(x - 1)^2 $. O valor absoluto $ |g(x) - 2| $ representa a distância entre $ g(x) $ e 2. A desigualdade nos diz que essa distância é no máximo $ 3(x - 1)^2 $.
Passo 3
Vamos lembrar do Teorema do Confronto, que diz que se $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $ e $ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L $, então $ \lim_{x \to a} g(x) = L $. Para aplicar esse teorema, precisamos “encaixar” $ g(x) $ entre duas funções que têm o mesmo limite quando $ x $ se aproxima de 1.
Passo 4
A partir da desigualdade $ |g(x) - 2| \leq 3(x - 1)^2 $, podemos escrever:
Isso porque o valor absoluto $ |A| \leq B $ implica $ -B \leq A \leq B $.
Passo 5
Agora, vamos somar 2 a todas as partes da desigualdade:
Assim, $ g(x) $ está entre $ 2 - 3(x - 1)^2 $ e $ 2 + 3(x - 1)^2 $.
Passo 6
Vamos calcular o limite de $ 2 - 3(x - 1)^2 $ quando $ x $ se aproxima de 1:
Fazendo o mesmo para $ 2 + 3(x - 1)^2 $:
Passo 7
Pelo Teorema do Confronto, já que $ \lim_{x \to 1} [2 - 3(x - 1)^2] = \lim_{x \to 1} [2 + 3(x - 1)^2] = 2 $ e $ 2 - 3(x - 1)^2 \leq g(x) \leq 2 + 3(x - 1)^2 $, então: