Demuestre que si A y B son matrices diagonales de n \times n, entonces \operatorname{det} A B=\operatorname{det} A \operatorname{det} B.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A e B são matrizes diagonais de ordem n, então vale
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).
Vamos usar que o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da sua diagonal principal.

Passo 2

Escrevendo explicitamente
A = \begin{pmatrix} a_{1} & 0 & \cdots & 0\\\\ 0 & a_{2} & \cdots & 0\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 0 & 0 & \cdots & a_{n} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_{1} & 0 & \cdots & 0\\\\ 0 & b_{2} & \cdots & 0\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 0 & 0 & \cdots & b_{n} \end{pmatrix},
o produto é
AB = \begin{pmatrix} a_{1}b_{1} & 0 & \cdots & 0\\\\ 0 & a_{2}b_{2} & \cdots & 0\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 0 & 0 & \cdots & a_{n}b_{n} \end{pmatrix}.
Portanto
\det(A)=\prod_{i=1}^{n}a_{i},\quad \det(B)=\prod_{i=1}^{n}b_{i},\quad \det(AB)=\prod_{i=1}^{n}(a_{i}b_{i}).

Passo 3

Bastam as propriedades elementares de produto de números reais para obter
\det(AB) =\prod_{i=1}^{n}(a_{i}b_{i}) =\Bigl(\prod_{i=1}^{n}a_{i}\Bigr)\Bigl(\prod_{i=1}^{n}b_{i}\Bigr) =\det(A)\,\det(B).

Resposta

\det(AB)=\det(A)\,\det(B).

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