1. ¿Para cuáles valores de \alpha la matriz \left(\begin{array}{cc}\alpha+1 & -3 \\\\ 5 & 1-\alpha\end{array}\right) es no invertible?

Passo 1

El enunciado pide hallar los valores de \alpha para los cuales la matriz
M = \begin{pmatrix} \alpha+1 & -3\\\\ 5 & 1-\alpha \end{pmatrix}
no es invertible. El contenido que usaremos es la condición de que una matriz cuadrada de orden 2\times 2 deja de ser invertible cuando su determinante es igual a zero.

Passo 2

Recordemos que para una matriz \displaystyle M=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}
su determinante es
\det(M)=a\,d - b\,c
y la matriz es no invertible exactamente cuando \det(M)=0.

Passo 3

Identificamos en nuestro caso
a = \alpha+1,\quad b = -3,\quad c = 5,\quad d = 1-\alpha
por lo que
\det(M) = (\alpha+1)(1-\alpha) \;-\;(-3)\cdot 5.

Passo 4

Simplificamos paso a paso:
(\alpha+1)(1-\alpha) = 1 - \alpha^2,
entonces
\det(M) = 1 - \alpha^2 + 15 = 16 - \alpha^2.
Imponemos la condición de no invertibilidad:
16 - \alpha^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \pm 4.

Resposta

\alpha = 4 o \alpha = -4.

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