Sea
una matriz de
. Demuestre que si la suma de todos los elementos de cada columna de
es cero, entonces
.
Passo 1
Resumimos el enunciado: Sea
una matriz de tamaño
tal que la suma de los elementos de cada columna es cero, es decir, para todo
Queremos probar que
. El contenido clave es reconocer una dependencia linear entre las filas (o columnas) de
.
Passo 2
Definimos el vector fila
Vamos a calcular el producto
.
Passo 3
El
-ésimo componente de
viene dado por
Por hipótesis, esa suma es cero para todo
. Luego
Passo 4
El hecho de que
sea el vector fila nulo significa que la combinación linear de las filas de
con coeficientes todos iguales a
da la fila nula. Por tanto, las filas de
son linealmente dependientes y
.
Passo 5
Una matriz de rango menor que
es singular, lo que implica