Sea A una matriz de n \times n. Demuestre que si la suma de todos los elementos de cada columna de A es cero, entonces |A|=0.

Passo 1

Resumimos el enunciado: Sea A una matriz de tamaño n\times n tal que la suma de los elementos de cada columna es cero, es decir, para todo j\in\{1,\dots,n\}
\sum_{i=1}^{n}a_{ij}=0.
Queremos probar que \det(A)=0. El contenido clave es reconocer una dependencia linear entre las filas (o columnas) de A.

Passo 2

Definimos el vector fila
w=(1,1,\dots,1)\in\mathbb{R}^n.
Vamos a calcular el producto wA.

Passo 3

El j-ésimo componente de wA viene dado por
(wA)_j = 1\cdot a_{1j} + 1\cdot a_{2j} + \cdots + 1\cdot a_{nj} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}.
Por hipótesis, esa suma es cero para todo j. Luego
wA=(0,0,\dots,0).

Passo 4

El hecho de que wA sea el vector fila nulo significa que la combinación linear de las filas de A con coeficientes todos iguales a 1 da la fila nula. Por tanto, las filas de A son linealmente dependientes y \mathrm{rank}(A)<n.

Passo 5

Una matriz de rango menor que n es singular, lo que implica
\det(A)=0.

Resposta

\det(A)=0.

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