Resolver os seguintes sistemas de Cramer:
\begin{cases}x+y+z=2 \\x-y+z=0 \\x+y-z=0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + y + z = 2,\\\ x - y + z = 0,\\\ x + y - z = 0 \end{cases}
usando a regra de Cramer. O conteúdo envolve determinantes de matrizes 3\times3 e a aplicação da fórmula
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D},
onde D é o determinante da matriz dos coeficientes e D_x,D_y,D_z são os determinantes obtidos substituindo-se a coluna correspondente pelos termos constantes.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
e calculamos
D = \det(A).
Usando expansão pela primeira linha,
D = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Cada um dos 2\times2
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix}=0,\quad \det\begin{pmatrix}1 &1\\\ 1 &-1\end{pmatrix}=-2,\quad \det\begin{pmatrix}1 &-1\\\ 1 &1\end{pmatrix}=2,
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D = 1\cdot0 - 1\cdot(-2) + 1\cdot2 = 4.

Passo 3

Agora calculamos D_x, substituindo a primeira coluna pelos termos constantes (2,0,0):
D_x = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Fazendo expansão pela primeira linha, todos os subdeterminantes são zero, então
D_x = 0.
Para D_y, substituímos a segunda coluna:
D_y = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Calculando por expansão na primeira linha,
D_y = 1\cdot0 - 2\cdot(-2) + 1\cdot0 = 4.
Para D_z, trocamos a terceira coluna:
D_z = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 1\cdot0 -1\cdot0 +2\cdot2 = 4.

Passo 4

Aplicando a regra de Cramer:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{0}{4} = 0,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{4}{4} = 1,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{4}{4} = 1.

Resposta

x = 0,\;y = 1,\;z = 1.

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