Se
denota a área dos círculos de raio
, para todo
, então a soma das áreas de todos esses círculos vale:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede a soma das áreas de círculos de raio
para
. O conteúdo aqui é soma de série geométrica, já que cada área será expressa como uma potência de um mesmo fator.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a área do círculo
:
Substituindo
obtemos:
Passo 3
Agora, a soma infinita das áreas é
Reconhecemos uma série geométrica de razão
, com
.
Passo 4
Usamos a fórmula da soma da série geométrica a partir de
:
Aplicando com
:
Logo,
Passo 5
Portanto, a soma das áreas de todos os círculos é
.
Resposta
64 \pi / 15