Se Ak denota a área dos círculos de raio rk=8 /(4^k), para todo k >= 1, então a soma das áreas de todos esses círculos vale:
(a) 256 pi / 3
(b) 64 pi / 15
© 64 pi / 3
(d) 1024 pi / 15
(e) 8 pi / 3

Passo 1

O enunciado pede a soma das áreas de círculos de raio rk = 8/4^k para k >= 1. O conteúdo aqui é soma de série geométrica, já que cada área será expressa como uma potência de um mesmo fator.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a área do círculo k:
Ak = pi , rk^2
Substituindo rk = 8/4^k obtemos:
Ak = pi (84^k)^2 = pi 6416^k = 64pi16^k

Passo 3

Agora, a soma infinita das áreas é
S = sumk=1^infty Ak = sumk=1^infty 64pi16^k = 64pi sumk=1^infty (116)^k
Reconhecemos uma série geométrica de razão r = 1/16, com |r|<1.

Passo 4

Usamos a fórmula da soma da série geométrica a partir de k=1:
sumk=1^infty r^k = r1 - r
Aplicando com r = 1/16:
sumk=1^infty (116)^k = 1/161 - 1/16 = 1/1615/16 = 115
Logo,
S = 64pi cdot 115 = 64pi15

Passo 5

Portanto, a soma das áreas de todos os círculos é tfrac64pi15.

Resposta

64 \pi / 15

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