Denotamos por
a série de Fourier de
. Seja
uma função periódica de período
tal que
para
. Calcule
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dado:
é uma função periódica de período e, no intervalo , vale
- Pedido: calcular
, isto é, o valor ao qual a série de Fourier de converge em .
Informações relevantes a notar (extraídas do enunciado):
- A função está definida explicitamente apenas em
; ela é estendida periodicamente de período . - O enunciado não especifica o valor de
em , o que não é necessário para avaliar a série em .
Passo 2
Lembrando a forma geral da série de Fourier para uma função de período
:
onde os coeficientes são dados por
Explicando cada parte:
-
é o termo constante (média) da série. -
mede a contribuição em cossenos (componentes pares) e mede a contribuição em senos (componentes ímpares). - Para avaliar
basta observar que e , logo
Uma estratégia natural: calcular
e os
. Se todos os
para
, então
.
Passo 3
Cálculo de
.
Separando a integral:
-
porque é função ímpar e o intervalo é simétrico. -
.
Portanto
e então
Passo 4
Cálculo de
para
.
Analisando as duas integrais:
-
é produto de (ímpar) com (par), portanto é ímpar. A integral de uma função ímpar em intervalo simétrico é zero:
-
porque para todo inteiro .
Logo
Passo 5
Consequência imediata para
.
Usando o que já temos,
Usando o que já temos,
Como verificação extra (opcional): os coeficientes
não entram em
pois multiplicam
e
. Assim, qualquer contribuição em senos não altera o valor em
.
Passo 6
Interpretação teórica (conforto adicional): pela teoria de convergência de Fourier (teorema de Dirichlet), se
é função com derivada por partes em
(o que vale aqui), a série de Fourier converge em cada ponto
para a média dos limites laterais:
No ponto
temos
portanto
. Isso confirma o resultado obtido pelos coeficientes.