Denotamos por S F(x) a série de Fourier de f(x). Seja f(x) uma função periódica de período 2 \pi tal que f(x)=x+1 para -\pi<x<\pi. Calcule S F(0).

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dado: f é uma função periódica de período 2\pi e, no intervalo -\pi<x<\pi, vale
f(x)=x+1.
  • Pedido: calcular S F(0), isto é, o valor ao qual a série de Fourier de f converge em x=0.
Informações relevantes a notar (extraídas do enunciado):
  • A função está definida explicitamente apenas em -\pi<x<\pi; ela é estendida periodicamente de período 2\pi.
  • O enunciado não especifica o valor de f em x=\pm\pi, o que não é necessário para avaliar a série em x=0.

Passo 2

Lembrando a forma geral da série de Fourier para uma função de período 2\pi:
S F(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad n\ge1,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad n\ge1.
Explicando cada parte:
  • a_0/2 é o termo constante (média) da série.
  • a_n mede a contribuição em cossenos (componentes pares) e b_n mede a contribuição em senos (componentes ímpares).
  • Para avaliar S F(0) basta observar que \cos(n\cdot0)=1 e \sin(n\cdot0)=0, logo
S F(0)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n.
Uma estratégia natural: calcular a_0 e os a_n. Se todos os a_n=0 para n\ge1, então S F(0)=a_0/2.

Passo 3

Cálculo de a_0.
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (x+1)\,dx.
Separando a integral:
\int_{-\pi}^{\pi} (x+1)\,dx=\int_{-\pi}^{\pi} x\,dx+\int_{-\pi}^{\pi} 1\,dx.
  • \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x\,dx = 0 porque x é função ímpar e o intervalo é simétrico.
  • \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} 1\,dx = 2\pi.
    Portanto
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot 2\pi = 2,
e então
\frac{a_0}{2}=1.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1.
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (x+1)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{\pi} x\cos(nx)\,dx + \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx\right).
Analisando as duas integrais:
  • x\cos(nx) é produto de x (ímpar) com \cos(nx) (par), portanto x\cos(nx) é ímpar. A integral de uma função ímpar em intervalo simétrico é zero:
\int_{-\pi}^{\pi} x\cos(nx)\,dx = 0.
  • \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(n\pi)-\sin(-n\pi)}{n}=0 porque \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n.
Logo
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 5

Consequência imediata para S F(0).
Usando o que já temos,
S F(0)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a_0}{2}+0 = 1.
Como verificação extra (opcional): os coeficientes b_n não entram em S F(0) pois multiplicam \sin(nx) e \sin(0)=0. Assim, qualquer contribuição em senos não altera o valor em x=0.

Passo 6

Interpretação teórica (conforto adicional): pela teoria de convergência de Fourier (teorema de Dirichlet), se f é função com derivada por partes em (- \pi,\pi) (o que vale aqui), a série de Fourier converge em cada ponto x para a média dos limites laterais:
S F(x)=\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}.
No ponto x=0 temos
f(0^-)=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1,\qquad f(0^+)=\lim_{x\to0^+}(x+1)=1,
portanto S F(0)=(1+1)/2=1. Isso confirma o resultado obtido pelos coeficientes.

Resposta

1

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