Use o método de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
f(t)=1+t-\frac{1}{6} \int_{0}^{t} f(u)(u-t)^{3} d u

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f(t) que satisfaz a igualdade
f(t)=1+t-\frac{1}{6}\int_{0}^{t} f(u)\,(u-t)^{3}\,du
Para ficar claro o que temos e o que é pedido:
  • Equação funcional integral dada: \displaystyle f(t)=1+t-\frac{1}{6}\int_{0}^{t} f(u)\,(u-t)^{3}\,du.
  • A integral é sobre u de 0 até t.
  • O objetivo: determinar explicitamente f(t) para t\ge 0 (resolver o problema de valor inicial implícito).
  • Não há outras condições explícitas além da própria equação; pode-se assumir que f é tal que todas as transformadas e integrais abaixo existem (caso típico em problemas desse tipo).

Passo 2

Primeiro simplifico o núcleo da integral para colocá-la na forma típica de convolução. Observe que, para 0\le u\le t,
(u-t)^3 = -(t-u)^3.
Substituindo isso em \displaystyle -\frac{1}{6}\int_{0}^{t} f(u)\,(u-t)^{3}\,du obtemos
-\frac{1}{6}\int_{0}^{t} f(u)\,(u-t)^{3}\,du = -\frac{1}{6}\int_{0}^{t} f(u) \bigl(-(t-u)^3\bigr)\,du = \frac{1}{6}\int_{0}^{t} f(u)\,(t-u)^3\,du.
Assim a equação fica
\boxed{\,f(t)=1+t+\frac{1}{6}\int_{0}^{t} f(u)\,(t-u)^3\,du\,.}
Esta forma é útil porque \displaystyle \int_{0}^{t} f(u)\,(t-u)^3\,du é a convolução (f * g)(t) com g(t)=t^3. Vou usar propriedades de transformadas para resolver.

Passo 3

Vou aplicar a transformada de Laplace. Primeiro lembro a definição e as propriedades que vou usar (apenas o necessário, de forma simples):
  • Definição: \displaystyle \mathcal{L}\{h\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}h(t)\,dt.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a h_1 + b h_2\}=a\mathcal{L}\{h_1\}+b\mathcal{L}\{h_2\}.
  • Convolução: se (h_1*h_2)(t)=\int_0^t h_1(u)h_2(t-u)\,du, então \mathcal{L}\{h_1*h_2\}(s)=\mathcal{L}\{h_1\}(s)\,\mathcal{L}\{h_2\}(s).
Denoto \displaystyle F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s). Faço a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
f(t)=1+t+\frac{1}{6}(f*g)(t),\qquad g(t)=t^3.
Transformando termo a termo:
  • \displaystyle \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.
  • \displaystyle \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}.
  • \displaystyle \mathcal{L}\{g\}(s)=\mathcal{L}\{t^3\}(s)=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}}.
  • Pela propriedade de convolução, \displaystyle \mathcal{L}\{\,(f*g)(t)\,\}(s)=F(s)\cdot\frac{6}{s^{4}}.
Multiplicando por \tfrac{1}{6} no termo da convolução dá \displaystyle \frac{1}{6}\cdot F(s)\cdot\frac{6}{s^{4}}=\frac{F(s)}{s^{4}}.
Assim a transformada da equação é
F(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}+\frac{F(s)}{s^{4}}.

Passo 4

Agora resolvo a equação algébrica para F(s). Isolando F(s):
F(s)\Bigl(1-\frac{1}{s^{4}}\Bigr)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}.
Multiplico numerador e denominador convenientemente (ou simplifico passo a passo). Uma forma direta é multiplicar ambos os lados por s^{4}:
F(s)\bigl(s^{4}-1\bigr)=s^{3}+s^{2}.
Portanto
F(s)=\frac{s^{3}+s^{2}}{s^{4}-1}.
Extraio fator comum no numerador:
F(s)=\frac{s^{2}(s+1)}{s^{4}-1}.
Fatorizo o denominador s^{4}-1=(s^{2}-1)(s^{2}+1)=(s-1)(s+1)(s^{2}+1). Como há um fator (s+1) no numerador, cancelo:
F(s)=\frac{s^{2}}{(s-1)(s^{2}+1)}.

Passo 5

Faço decomposição em frações parciais para inverter a transformada. Procuro constantes A,B,C\) tais que \[\frac{s^{2}}{(s-1)(s^{2}+1)}=\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^{2}+1}.
Multiplico ambos os lados por (s-1)(s^{2}+1):
s^{2}=A(s^{2}+1)+(Bs+C)(s-1).
Expando o lado direito:
s^{2}=A s^{2}+A + (Bs+C)s - (Bs+C) = (A+B)s^{2}+(-B+C)s+(A-C).
Comparando coeficientes das potências de s obtemos o sistema
\begin{cases} 1 = A+B &\text{(coeficiente de }s^{2}),\\[4pt] 0 = -B+C &\text{(coeficiente de }s),\\[4pt] 0 = A-C &\text{(termo constante)}. \end{cases}
Das últimas duas equações temos C=B\] e \(C=A, logo A=B=C. Substituindo na primeira equação dá 1= A+B = 2A, portanto A=\tfrac{1}{2}. Assim B=\tfrac{1}{2} e C=\tfrac{1}{2}.
Logo a decomposição é
F(s)=\frac{1/2}{s-1}+\frac{\tfrac{1}{2}s+\tfrac{1}{2}}{s^{2}+1} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^{2}+1}.]

Passo 6

Inverto cada termo usando transformadas conhecidas:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-1}\right\}=e^{t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
Aplicando linearidade e os coeficientes \tfrac{1}{2}, obtemos
f(t)=\frac{1}{2}e^{t}+\frac{1}{2}\cos t+\frac{1}{2}\sin t.
Para checar rapidamente: em t=0 isso dá f(0)=\tfrac{1}{2}(1+1+0)=1, coerente com a forma original onde f(0)=1. Além disso a transformada dessa f foi justamente F(s) que satisfaz a equação transformada, então a solução é consistente.

Resposta

f(t)=\tfrac{1}{2}\,e^{t}+\tfrac{1}{2}\cos t+\tfrac{1}{2}\sin t

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