Equação funcional integral dada: \displaystyle f(t)=1+t-\frac{1}{6}\int_{0}^{t} f(u)\,(u-t)^{3}\,du.
A integral é sobre u de 0 até t.
O objetivo: determinar explicitamente f(t) para t\ge 0 (resolver o problema de valor inicial implícito).
Não há outras condições explícitas além da própria equação; pode-se assumir que f é tal que todas as transformadas e integrais abaixo existem (caso típico em problemas desse tipo).
Passo 2
Primeiro simplifico o núcleo da integral para colocá-la na forma típica de convolução. Observe que, para 0\le u\le t,
(u-t)^3 = -(t-u)^3.
Substituindo isso em \displaystyle -\frac{1}{6}\int_{0}^{t} f(u)\,(u-t)^{3}\,du obtemos
Esta forma é útil porque \displaystyle \int_{0}^{t} f(u)\,(t-u)^3\,du é a convolução (f * g)(t) com g(t)=t^3. Vou usar propriedades de transformadas para resolver.
Passo 3
Vou aplicar a transformada de Laplace. Primeiro lembro a definição e as propriedades que vou usar (apenas o necessário, de forma simples):
Multiplico numerador e denominador convenientemente (ou simplifico passo a passo). Uma forma direta é multiplicar ambos os lados por s^{4}:
F(s)\bigl(s^{4}-1\bigr)=s^{3}+s^{2}.
Portanto
F(s)=\frac{s^{3}+s^{2}}{s^{4}-1}.
Extraio fator comum no numerador:
F(s)=\frac{s^{2}(s+1)}{s^{4}-1}.
Fatorizo o denominador s^{4}-1=(s^{2}-1)(s^{2}+1)=(s-1)(s+1)(s^{2}+1). Como há um fator (s+1) no numerador, cancelo:
F(s)=\frac{s^{2}}{(s-1)(s^{2}+1)}.
Passo 5
Faço decomposição em frações parciais para inverter a transformada. Procuro constantes A,B,C\) tais que
\[\frac{s^{2}}{(s-1)(s^{2}+1)}=\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^{2}+1}.
Comparando coeficientes das potências de s obtemos o sistema
\begin{cases} 1 = A+B &\text{(coeficiente de }s^{2}),\\[4pt] 0 = -B+C &\text{(coeficiente de }s),\\[4pt] 0 = A-C &\text{(termo constante)}. \end{cases}
Das últimas duas equações temos C=B\] e \(C=A, logo A=B=C. Substituindo na primeira equação dá 1= A+B = 2A, portanto A=\tfrac{1}{2}. Assim B=\tfrac{1}{2} e C=\tfrac{1}{2}.
\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t.
\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
Aplicando linearidade e os coeficientes \tfrac{1}{2}, obtemos
f(t)=\frac{1}{2}e^{t}+\frac{1}{2}\cos t+\frac{1}{2}\sin t.
Para checar rapidamente: em t=0 isso dá f(0)=\tfrac{1}{2}(1+1+0)=1, coerente com a forma original onde f(0)=1. Além disso a transformada dessa f foi justamente F(s) que satisfaz a equação transformada, então a solução é consistente.
Resposta
f(t)=\tfrac{1}{2}\,e^{t}+\tfrac{1}{2}\cos t+\tfrac{1}{2}\sin t