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Passo 1
O enunciado pede: calcular
para a função
Informações dadas:
- A função é explicitamente
. - Quer-se a derivada primeira
.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função usando potência negativa para facilitar a aplicação da regra da cadeia e da regra da potência:
Passo 3
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (mini-aula rápida e direta):
- Regra do fator constante: se
é constante e é função, então . - Regra da potência (para função composta): se
é função e temos com constante, então
Isto é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia (derivar a função externa e multiplicar pela derivada da interna).
Passo 4
Aplicando a regra do fator constante: colocamos a constante
em evidência na derivada:
Passo 5
Agora aplicamos a regra da potência e a regra da cadeia à função interna
. Pela regra,
Passo 6
Calculamos a derivada da função interna
. Derivando termo a termo:
-
, -
, -
.
Portanto
Passo 7
Substituindo essa derivada na expressão do passo anterior:
Multiplicando pelo
que estava em evidência (passo 4), obtemos
Passo 8
Fazer a multiplicação das constantes e simplificar os sinais e termos:
-
.
Então
Passo 9
Multiplicando
por
termo a termo:
-
, -
.
Logo
Passo 10
Escrever a derivada numa forma de fração mais comum (colocando o denominador com expoente positivo) e, se quiser, fatorar o numerador para ficar mais compacto:
Fatorando
no numerador:
portanto uma forma factorizada é