Encontre f^{\prime}(x)
f(x)=\frac{4}{\left(3 x^{2}-2 x+1\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular f^{\prime}(x) para a função
f(x)=\frac{4}{\left(3 x^{2}-2 x+1\right)^{3}}.
Informações dadas:
  • A função é explicitamente f(x)=4\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-3}.
  • Quer-se a derivada primeira f^{\prime}(x).

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função usando potência negativa para facilitar a aplicação da regra da cadeia e da regra da potência:
f(x)=4\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-3}.

Passo 3

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (mini-aula rápida e direta):
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(x) é função, então \dfrac{d}{dx}\bigl[c\cdot g(x)\bigr]=c\cdot g'(x).
  • Regra da potência (para função composta): se u(x) é função e temos u(x)^{n} com n constante, então
\frac{d}{dx}\bigl[u(x)^{n}\bigr]=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Isto é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia (derivar a função externa e multiplicar pela derivada da interna).

Passo 4

Aplicando a regra do fator constante: colocamos a constante 4 em evidência na derivada:
f^{\prime}(x)=4\cdot\frac{d}{dx}\left[\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-3}\right].

Passo 5

Agora aplicamos a regra da potência e a regra da cadeia à função interna \bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-3}. Pela regra,
\frac{d}{dx}\left[\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-3}\right]=-3\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-4}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr).

Passo 6

Calculamos a derivada da função interna \bigl(3x^{2}-2x+1\bigr). Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot 2x=6x,
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(-2x\bigr)=-2,
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(1\bigr)=0.
    Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)=6x-2.

Passo 7

Substituindo essa derivada na expressão do passo anterior:
\frac{d}{dx}\left[\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-3}\right]=-3\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-4}\cdot(6x-2).
Multiplicando pelo 4 que estava em evidência (passo 4), obtemos
f^{\prime}(x)=4\cdot\bigl[-3\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-4}\cdot(6x-2)\bigr].

Passo 8

Fazer a multiplicação das constantes e simplificar os sinais e termos:
  • 4\cdot(-3)=-12.
    Então
f^{\prime}(x)=-12\,(6x-2)\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-4}.

Passo 9

Multiplicando -12 por (6x-2) termo a termo:
  • -12\cdot 6x=-72x,
  • -12\cdot(-2)=24.
    Logo
f^{\prime}(x)=(-72x+24)\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{-4}.

Passo 10

Escrever a derivada numa forma de fração mais comum (colocando o denominador com expoente positivo) e, se quiser, fatorar o numerador para ficar mais compacto:
f^{\prime}(x)=\frac{-72x+24}{\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{4}}.
Fatorando 24 no numerador:
-72x+24=24(1-3x),
portanto uma forma factorizada é
f^{\prime}(x)=\frac{24(1-3x)}{\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{4}}.

Resposta

\frac{24(1-3x)}{\bigl(3x^{2}-2x+1\bigr)^{4}}

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