Responda as seguintes perguntas (justifique suas respostas):
Se
é uma função crescente, que não cresce mais rápido que uma função exponencial, então
possui transformada de Laplace?
Se
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre a função
:
-
é crescente (isto é, para vale ). -
“não cresce mais rápido que uma função exponencial”. Vou ler isso de forma precisa assim: existem constantes , e tais que
A pergunta: com essas hipóteses, a transformada de Laplace de
existe? (Justificar.)
Passo 2
Definição e objetivo claro: a transformada de Laplace de
é a integral imprópria
Dizer que “possui transformada de Laplace” significa que essa integral é finita (converge) para pelo menos alguns valores de
— usualmente buscamos um semi-plano vertical de convergência
.
Passo 3
Comportamento no intervalo inicial
: como
é crescente, ela é limitada em
(o máximo em
é
). Logo a parte da integral entre
e
é finita:
para qualquer
. Assim não há problema de divergência na porção inicial.
Passo 4
Comportamento no “cauda”
: pela hipótese de crescimento exponencial temos, para
,
Se escolhermos
, então
e a função
é integrável no intervalo
. Portanto, pela comparação, a integral da cauda converge:
Passo 5
Calcular a integral geométrica da comparação: para
tem-se
que é finita. Assim a cauda é finita e, somando com a parte em
, obtemos que
para todo
.
Passo 6
Interpretação e observações finais didáticas:
- Conclusão prática: se
é de “ordem exponencial” (isto é, ), então a transformada de Laplace existe (converge absolutamente) para todo . Esse é o resultado padrão que aparece em livros: funções de ordem exponencial têm Laplace transformada em um semi-plano à direita. - O fato de
ser crescente foi usado só para garantir que é limitada em intervalos finitos (o que facilita a parte a ). Na verdade a hipótese essencial é a desigualdade exponencial para grande; monotonicidade não é necessária para a parte da cauda. - A transformada pode falhar em
ou para . Exemplo simples e instructivo: . Então
só converge se
, isto é,
. Em
diverge (integrando
sobre
).
Resposta
Sim. Mais precisamente: se existem
,
e
tais que
para todo
, então
converge para todo
. Em
a transformada pode divergir (por exemplo
diverge em
).