Responda as seguintes perguntas (justifique suas respostas):
Se g é uma função crescente, que não cresce mais rápido que uma função exponencial, então g possui transformada de Laplace?

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre a função g:
  • g é crescente (isto é, para t_1<t_2 vale g(t_1)\le g(t_2)).
  • g “não cresce mais rápido que uma função exponencial”. Vou ler isso de forma precisa assim: existem constantes \alpha\in\mathbb{R}, M>0 e T\ge0 tais que
g(t)\le M e^{\alpha t}\quad\text{para todo }t\ge T.
A pergunta: com essas hipóteses, a transformada de Laplace de g existe? (Justificar.)

Passo 2

Definição e objetivo claro: a transformada de Laplace de g é a integral imprópria
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)e^{-s t}\,dt.
Dizer que “possui transformada de Laplace” significa que essa integral é finita (converge) para pelo menos alguns valores de s — usualmente buscamos um semi-plano vertical de convergência \{s\in\mathbb{R}:s>\sigma_0\}.

Passo 3

Comportamento no intervalo inicial [0,T]: como g é crescente, ela é limitada em [0,T] (o máximo em [0,T] é g(T)). Logo a parte da integral entre 0 e T é finita:
\int_{0}^{T} g(t)e^{-s t}\,dt \le g(T)\int_{0}^{T} e^{-s t}\,dt <\infty
para qualquer s\in\mathbb{R}. Assim não há problema de divergência na porção inicial.

Passo 4

Comportamento no “cauda” t\ge T: pela hipótese de crescimento exponencial temos, para t\ge T,
g(t)e^{-s t} \le M e^{\alpha t} e^{-s t} = M e^{-(s-\alpha)t}.
Se escolhermos s>\alpha, então s-\alpha>0 e a função t\mapsto e^{-(s-\alpha)t} é integrável no intervalo [T,\infty). Portanto, pela comparação, a integral da cauda converge:
\int_{T}^{\infty} g(t)e^{-s t}\,dt \le M\int_{T}^{\infty} e^{-(s-\alpha)t}\,dt.

Passo 5

Calcular a integral geométrica da comparação: para s>\alpha tem-se
\int_{T}^{\infty} e^{-(s-\alpha)t}\,dt = \left[\frac{e^{-(s-\alpha)t}}{-(s-\alpha)}\right]_{t=T}^{t=\infty} = \frac{e^{-(s-\alpha)T}}{s-\alpha},
que é finita. Assim a cauda é finita e, somando com a parte em [0,T], obtemos que
\int_{0}^{\infty} g(t)e^{-s t}\,dt <\infty
para todo s>\alpha.

Passo 6

Interpretação e observações finais didáticas:
  • Conclusão prática: se g é de “ordem exponencial” (isto é, g(t)=O(e^{\alpha t})), então a transformada de Laplace existe (converge absolutamente) para todo s>\alpha. Esse é o resultado padrão que aparece em livros: funções de ordem exponencial têm Laplace transformada em um semi-plano à direita.
  • O fato de g ser crescente foi usado só para garantir que g é limitada em intervalos finitos (o que facilita a parte 0 a T). Na verdade a hipótese essencial é a desigualdade exponencial para t grande; monotonicidade não é necessária para a parte da cauda.
  • A transformada pode falhar em s=\alpha ou para s<\alpha. Exemplo simples e instructivo: g(t)=e^{\alpha t}. Então
\int_{0}^{\infty} e^{\alpha t} e^{-s t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-\alpha)t}\,dt
só converge se s-\alpha>0, isto é, s>\alpha. Em s=\alpha diverge (integrando 1 sobre [0,\infty)).

Resposta

Sim. Mais precisamente: se existem \alpha\in\mathbb{R}, M>0 e T\ge0 tais que g(t)\le M e^{\alpha t} para todo t\ge T, então \mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)e^{-s t}\,dt converge para todo s>\alpha. Em s\le\alpha a transformada pode divergir (por exemplo g(t)=e^{\alpha t} diverge em s=\alpha).

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