Determine a função f que satisfaz as seguintes condições de problema de valor inicial (P.V.I) tal que
f^prime(x)=6 x-2 x e f(-1)=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a função f^prime(x) = 6x - 2x e f(-1) = 3 que satisfaz as seguintes condições:
Aqui estamos lidando com um Problema de Valor Inicial (P.V.I) que envolve uma equação diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções e aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
f^prime(x) = 6x - 2x = 4x
Então, nossa equação fica:
f^prime(x) = 4x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a função integral f^prime(x) , dx = integral 4x , dx cuja derivada é integral 4x , dx = 4 integral x , dx = 4 ( x^22 ) + C = 2x^2 + C . Para isso, integramos ambos os lados da equação em relação a f(x) = 2x^2 + C :
A integral de em relação a é simplesmente . Vamos calcular a integral do lado direito:
Então, temos:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante f(-1) = 3 . Sabemos que:
3 = 2(-1)^2 + C 3 = 2(1) + C 3 = 2 + C
Substituindo C = 3 - 2 C = 1 na função :
Resolvendo para :

Resposta

Portanto, a função que satisfaz as condições dadas é:
f(x) = 2x^2 + 1

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