Denotaremos por Mn(R) o conjunto das matrizes reais n times n.
(0,5 ponto) a) Seja f: Mn(R) times ldots times Mn(R) Mn(R) a função dada por
f(A1, ldots, Ak)=A1 A2 ldots Ak
Calcule d f(A1, ldots, Ak)(H1, ldots, Hk), em que Hj in Mn(R), j=1, ldots, k. (Dica: Observe que f é multilinear).
(1,0 ponto) b) Seja g: Mn(R) Mn(R) a função dada por g(X)=X^k. Calcule d g(X)(H), para H in Mn(R), e mostre que d g(I): Mn(R) Mn(R) é um isomorfismo, em que I é a matriz identidade.
(1,0 ponto) c) Mostre que existem abertos Omega, tildeOmega subset Mn(R) que contêm a identidade I e uma aplicação diferenciável h: Omega tildeOmega tal que h(A) é a única matriz em tildeOmega tal que h(A)^k=A.

Passo 1

O enunciado pede três coisas em Mn(R):
– (a) a diferencial de uma aplicação multilinear
f(A1,dots,Ak) = A1A2cdots Ak,
– (b) a diferencial do mapa de potência
g(X)=X^k,
e mostrar que d g(I) é isomorfismo,
– (c) usar o Teorema da Função Inversa para obter, em torno de I, uma aplicação h que extrai raiz k-ésima.
Vamos usar: multilinearidade para (a), regra da cadeia ou derivação de potência para (b) e Teorema da Função Inversa para (c).

Passo 2

Como f é multilinear em cada argumento, sua diferencial consiste em somar as variações em cada coordena-da deixando as outras fixas. Logo, para (H1,dots,Hk)in Mn(R)^k vale
d f(A1,dots,Ak)(H1,dots,Hk) =sumj=1^kA1cdots Aj-1,Hj,Aj+1cdots Ak

Passo 3

Vemos g(X)=X^k=f(X,dots,X). Pela regra da cadeia (ou simplesmente aplicando o resultado de (a) com Aj=X e Hj=H para todo j) obtemos
d g(X)(H) =sumj=1^kX^,j-1,H,X^,k-j

Passo 4

Em X=I cada I^j-1=I, então
d g(I)(H) =sumj=1^kI,H,I =k,H
Portanto d g(I) é a aplicação Hmapsto kH, que é invertível (isomorfismo) pois kneq0 e seu inverso é Hmapsto tfrac1kH.

Passo 5

Como g é diferenciável e d g(I) é isomorfismo, o Teorema da Função Inversa garante que existem abertos Omega e tildeOmega em Mn(R), ambos contendo I, tais que
g:OmegatotildeOmega é difeomorfismo local, é
com inversa diferenciável h:tildeOmegatoOmega. Dessa forma, para todo AintildeOmega vale
h(A)^k=gl(h(A)r)=A,
e essa raiz k-ésima é única em tildeOmega.

Resposta

a)
d f(A1,dots,Ak)(H1,dots,Hk) =sumj=1^kA1cdots Aj-1,Hj,Aj+1cdots Ak
b)
d g(X)(H) =sumj=1^kX^,j-1,H,X^,k-j,
e em particular
d g(I)(H)=kH,
que é um isomorfismo.
c) Pelo Teorema da Função Inversa, há vizinhanças Omega e tildeOmega de I e uma aplicação diferenciável h:tildeOmegatoOmega tal que h(A)^k=A, única em tildeOmega.

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