Denotaremos por
o conjunto das matrizes reais
.
(0,5 ponto) a) Seja
a função dada por
Calcule
, em que
. (Dica: Observe que
é multilinear).
ponto) b) Seja
a função dada por
. Calcule
, para
, e mostre que
é um isomorfismo, em que
é a matriz identidade.
(1,0 ponto) c) Mostre que existem abertos
que contêm a identidade
e uma aplicação diferenciável
tal que
é a única matriz em
tal que
.
(0,5 ponto) a) Seja
(1,0 ponto) c) Mostre que existem abertos
Passo 1
O enunciado pede três coisas em
:
– (a) a diferencial de uma aplicação multilinear
– (a) a diferencial de uma aplicação multilinear
– (b) a diferencial do mapa de potência
e mostrar que
é isomorfismo,
– (c) usar o Teorema da Função Inversa para obter, em torno de , uma aplicação
que extrai raiz
-ésima.
Vamos usar: multilinearidade para (a), regra da cadeia ou derivação de potência para (b) e Teorema da Função Inversa para (c).
– (c) usar o Teorema da Função Inversa para obter, em torno de
Vamos usar: multilinearidade para (a), regra da cadeia ou derivação de potência para (b) e Teorema da Função Inversa para (c).
Passo 2
Como
é multilinear em cada argumento, sua diferencial consiste em somar as variações em cada coordena-da deixando as outras fixas. Logo, para
vale
Passo 3
Vemos
. Pela regra da cadeia (ou simplesmente aplicando o resultado de (a) com
e
para todo
) obtemos
Passo 4
Em
cada
, então
Portanto
é a aplicação
, que é invertível (isomorfismo) pois
e seu inverso é
.
Passo 5
Como
é diferenciável e
é isomorfismo, o Teorema da Função Inversa garante que existem abertos
e
em
, ambos contendo
, tais que
com inversa diferenciável
. Dessa forma, para todo
vale
e essa raiz
-ésima é única em
.
Resposta
a)
b)
e em particular
que é um isomorfismo.
c) Pelo Teorema da Função Inversa, há vizinhanças
e
de
e uma aplicação diferenciável
tal que
, única em
.