Questão 4. Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste voce utilizous.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+3}{\sqrt[4]{n^{7}+5 n^{3}}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\quad a_n=\frac{n+3}{\sqrt[4]{n^{7}+5\,n^{3}}}.
O conteúdo é teste de convergência para séries de termos positivos, usando comparação assintótica ou comparação de limites com p-séries.

Passo 2

Analisamos o comportamento de a_n quando n\to\infty. Note que
\sqrt[4]{n^{7}+5\,n^{3}} =(n^{7}(1+5/n^{4}))^{1/4} =n^{7/4}(1+5/n^{4})^{1/4} \sim n^{7/4}.
Como n+3\sim n, temos
a_n=\frac{n+3}{\sqrt[4]{n^{7}+5\,n^{3}}} \sim\frac{n}{n^{7/4}} =n^{-3/4}.

Passo 3

Reconhecemos que \sum n^{-3/4} é uma p-série com p=3/4\le1. Toda p-série com p\le1 diverge, logo \sum n^{-3/4} diverge.

Passo 4

Para tornar rigoroso, aplicamos o critério da comparação de limites com
b_n=n^{-3/4}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)\,n^{3/4}}{(n^{7}+5\,n^{3})^{1/4}} =1,
que é finito e não nulo. Como \sum b_n diverge, segue que \sum a_n também diverge.

Resposta

A série diverge, por comparação limite com a p-série de expoente p=3/4.

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