Questāo 1. Verifique, com justificativa, se cada série alternada abmixy converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln \sqrt{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série alternada
\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln\sqrt{n}}
e determinar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
Vamos usar o teste de Leibniz (para convergência alternada) e o teste de convergência absoluta (por exemplo, o teste da integral).

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral. Note que
\ln\sqrt{n}=\frac12\,\ln n
logo
a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\ln\sqrt{n}} =\frac{(-1)^{n}}{\tfrac12\ln n} =2\,\frac{(-1)^{n}}{\ln n}.

Passo 3

Para aplicar o teste de Leibniz definimos b_{n}=\dfrac{2}{\ln n}.
  1. Mostramos que b_{n} é decrescente para n\ge2. A função
f(x)=\frac{2}{\ln x}
tem derivada
f'(x)=-\frac{2}{x(\ln x)^{2}}<0\quad (\forall x>1),
portanto b_{n+1}<b_{n}.
2. Vemos que
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\ln n} =0.
Pelas hipóteses do teste de Leibniz, a série \sum(-1)^{n}b_{n} converge.

Passo 4

Agora olhamos para a série de valores absolutos:
\sum_{n=2}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr| =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{\ln n}.
Usamos o teste da integral com a mesma função f(x)=2/\ln x, que é positiva e decrescente em [2,\infty):
\int_{2}^{\infty}\frac{2}{\ln x}\,dx \;=\;\infty
(é a integral da função logarítmica inversa, que diverge).
Assim \sum2/\ln n diverge, e a série não converge absolutamente.

Passo 5

Concluímos que a série converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente, ou seja, converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados