Denote por R^+o conjunto dos números reais positivos. Defina a operação de multiplicação por um escalar por
alpha circ x=x^alpha
Para cada x in R^+e para cada número real alpha. Defina a operação de soma por
x oplus y=x cdot y para todos x, y in R^+
Então, para esse sistema, o produto do escalar -3 por 1 / 2 é dado por
-3 circ 12=(12)^-3=8
e a soma de 2 com 5 é dada por
2 oplus 5=2 cdot 5=10
R^+é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado considera o conjunto R^+ dos reais positivos com as operações
x oplus y = xcdot y
e
alpha circ x = x^alpha
para todo x,yin R^+ e todo alphainR. Pergunta-se se (R^+,oplus,circ) é um espaço vetorial sobre R. Para responder, vamos conferir os axiomas de espaço vetorial: primeiro que (R^+,oplus) seja um grupo abeliano e depois as propriedades de multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que (R^+,oplus) é um grupo abeliano.
  1. Fechamento: se x,yin R^+ então xoplus y = x,y>0, logo está em R^+.
  2. Associatividade:
(xoplus y)oplus z = (x,y),z = x,(y,z) = xoplus(yoplus z)
  1. Elemento neutro: existe ein R^+ tal que eoplus x=x. Como ecdot x=x e=1.
  2. Inverso: para cada xin R^+ existe x^-1in R^+ com xoplus x^-1=1.
  3. Comutatividade:
xoplus y = x,y = y,x = yoplus x

Passo 3

Fechamento da multiplicação escalar e identidade do escalar.
  1. Se xin R^+ e alphainR, então x^alpha>0, logo alphacirc xin R^+.
  2. Identidade escalar:
1circ x = x^1 = x

Passo 4

Associatividade da multiplicação escalar.
alphacirc(betacirc x) = alphacircl(x^betar) = l(x^betar)^alpha = x^betaalpha = x^alphabeta = (alphabeta)circ x

Passo 5

Distributividade em relação à soma de escalares.
(alpha+beta)circ x = x^alpha+beta = x^alpha,x^beta = (alphacirc x)oplus(betacirc x)

Passo 6

Distributividade em relação à soma vetorial.
alphacirc(xoplus y) = alphacirc(x,y) = (x,y)^alpha = x^alpha,y^alpha = (alphacirc x)oplus(alphacirc y)

Resposta

Sim. Todos os axiomas de espaço vetorial sobre R são satisfeitos, logo l(R^+,oplus,circr) é um espaço vetorial.

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