Denote por
o conjunto dos números reais positivos. Defina a operação de multiplicação por um escalar por
Para cada
e para cada número real
. Defina a operação de soma por
Então, para esse sistema, o produto do escalar -3 por
é dado por
e a soma de 2 com 5 é dada por
é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado considera o conjunto
dos reais positivos com as operações
e
para todo
e todo
. Pergunta-se se
é um espaço vetorial sobre
. Para responder, vamos conferir os axiomas de espaço vetorial: primeiro que
seja um grupo abeliano e depois as propriedades de multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano.
- Fechamento: se
então , logo está em . - Associatividade:
- Elemento neutro: existe
tal que . Como dá . - Inverso: para cada
existe com . - Comutatividade:
Passo 3
Fechamento da multiplicação escalar e identidade do escalar.
- Se
e , então , logo . - Identidade escalar:
Passo 4
Associatividade da multiplicação escalar.
Passo 5
Distributividade em relação à soma de escalares.
Passo 6
Distributividade em relação à soma vetorial.
Resposta
Sim. Todos os axiomas de espaço vetorial sobre
são satisfeitos, logo
é um espaço vetorial.