Seja (xn) uma sequência tal que as subsequências (x2 n),(x2 n+1) e (x3 n) são convergentes. Prove que (xn) é convergente.

Passo 1

O enunciado diz que a sequência (xn) tem três subsequências que convergem: (x2n), (x2n+1) e (x3n). Vamos usar noções básicas de limite de sequência e a definição de convergência (ε–N) para mostrar que (xn) também converge.

Passo 2

Denotemos L1 = limntoinfty x2n,;L2 = limntoinfty x2n+1 e L3 = limntoinfty x3n. Nosso primeiro objetivo é provar que L1= L2 = L3.

Passo 3

Para ver que L1 = L3, considere a subsequência (x6n). Como 6n = 2cdot(3n), ela faz parte de (x2n) e, portanto, converge para L1. Mas também 6n = 3cdot(2n), então ela pertence a (x3n) e converge para L3. Pela unicidade do limite de uma mesma sequência segue que L1 = L3.

Passo 4

Para ver que L2 = L3, olhe a subsequência (x6n+3). Note que 6n+3 = 2,(3n+1)+1, então x6n+3 faz parte de (x2n+1) e converge para L2. E também 6n+3 = 3,(2n+1), então ela pertence a (x3n) e converge para L3. De novo, unicidade do limite implica L2 = L3.
Concluímos que L1 = L2 = L3. Chamemos esse valor comum de L. Agora, dado varepsilon>0, pela definição de limite existem índices N1 e N2 tais que
|x2n-L|= N1,
|x2n+1-L|= N2

Passo 5

Escolhendo N=max2N1,,2N2+1, vemos que para qualquer n>= N temos dois casos:
Se n for par, escreva n=2k. Então k>= N/2>= N1 e segue |xn-L|=|x2k-L|.
Se n for ímpar, escreva n=2k+1. Então k>=(n-1)/2>= N2 e daí |xn-L|=|x2k+1-L|.
Isso mostra, pela definição de convergência, que (xn) converge para L.

Resposta

A sequência (xn) converge e seu limite é o valor comum L=limntoinftyx2n=limntoinftyx2n+1=limntoinftyx3n.

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