Seja
uma sequência tal que as subsequências
e
são convergentes. Prove que
é convergente.
Passo 1
O enunciado diz que a sequência
tem três subsequências que convergem:
,
e
. Vamos usar noções básicas de limite de sequência e a definição de convergência (ε–N) para mostrar que
também converge.
Passo 2
Denotemos
e
. Nosso primeiro objetivo é provar que
.
Passo 3
Para ver que
, considere a subsequência
. Como
, ela faz parte de
e, portanto, converge para
. Mas também
, então ela pertence a
e converge para
. Pela unicidade do limite de uma mesma sequência segue que
.
Passo 4
Para ver que
, olhe a subsequência
. Note que
, então
faz parte de
e converge para
. E também
, então ela pertence a
e converge para
. De novo, unicidade do limite implica
.
Concluímos que . Chamemos esse valor comum de
. Agora, dado
, pela definição de limite existem índices
e
tais que
Concluímos que
Passo 5
Escolhendo
, vemos que para qualquer
temos dois casos:
Se for par, escreva
. Então
e segue
.
Se for ímpar, escreva
. Então
e daí
.
Isso mostra, pela definição de convergência, que converge para
.
Se
Se
Isso mostra, pela definição de convergência, que
Resposta
A sequência
converge e seu limite é o valor comum
.