Seja ( tn ) uma sequência satisfazendo 0 <= tn <= 1 e (xn), ( yn ) sequências convergindo para o mesmo limite a in R. Prove que
tn xn+(1-tn) yn a

Passo 1

Vamos resumir o que foi pedido: temos uma sequência tn com 0 <= tn <= 1 e duas sequências xn e yn que convergem para o mesmo limite a. O conteúdo aqui é demonstração de limite usando combinações convexas, e vamos precisar da definição de limite (epsilon–N).

Passo 2

Para mostrar que tn xn + (1 - tn) yn to a, olhamos para a diferença em módulo e usamos desigualdade triangular. Observe:
l|tn xn + (1 - tn) yn - ar| = l|tn(xn - a) + (1 - tn)(yn - a)r|
Pela desigualdade triangular e por 0 <= tn <= 1, temos
l|tn(xn - a) + (1 - tn)(yn - a)r| <= tn,|xn - a| + (1 - tn),|yn - a| <= |xn - a| + |yn - a|

Passo 3

Agora vem o passo do varepsilon. Dado varepsilon > 0, como xn to a existe N1 tal que para n >= N1 vale |xn - a| < varepsilon/2. Do mesmo modo, como yn to a existe N2 com |yn - a| < varepsilon/2 para n >= N2. Se tomarmos N = max(N1,N2), então para todo n >= N temos
|xn - a| + |yn - a| < varepsilon2 + varepsilon2 = varepsilon

Passo 4

Portanto, para n >= N conseguimos
l|tn xn + (1 - tn) yn - ar| <= |xn - a| + |yn - a| < varepsilon,
o que mostra exatamente que tn xn + (1 - tn) yn to a.

Resposta

a

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