Seja ( ) uma sequência satisfazendo e , ( ) sequências convergindo para o mesmo limite . Prove que
Passo 1
Vamos resumir o que foi pedido: temos uma sequência com e duas sequências e que convergem para o mesmo limite . O conteúdo aqui é demonstração de limite usando combinações convexas, e vamos precisar da definição de limite (epsilon–N).
Passo 2
Para mostrar que , olhamos para a diferença em módulo e usamos desigualdade triangular. Observe:
Pela desigualdade triangular e por 0 <= tn <= 1, temos
Agora vem o passo do varepsilon. Dado varepsilon > 0, como xn to a existe N1 tal que para n >= N1 vale |xn - a| < varepsilon/2. Do mesmo modo, como yn to a existe N2 com |yn - a| < varepsilon/2 para n >= N2. Se tomarmos N = max(N1,N2), então para todo n >= N temos