Denote por Z o conjunto de todos os números inteiros com a soma definida da maneira usual e a multiplicação por um escalar definida por
onde denota o maiôs inteiro menor ou igual a
. Por exemplo,
Mostre que Z não é um espaço vetorial em relação a essas operações. Quais dos axiomas não são válidos?]
Passo 1
O enunciado define o conjunto
dos inteiros com a soma usual e a multiplicação por escalar
onde
é o maior inteiro menor ou igual a
. Queremos ver se
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Antes de mexer em escalares, note que
é um grupo abeliano: a soma de inteiros é fechada, associativa, com elemento neutro
, inversos
e comutativa. Logo, todos os axiomas relativos à adição de vetores estão OK.
Passo 3
Verificamos agora se a multiplicação por escalar satisfaz os demais axiomas:
- Fechamento: para
e , temos . - Elemento neutro escalar:
Até aqui, tudo bem.
3. Distributividade em relação à soma de vetores:
3. Distributividade em relação à soma de vetores:
logo este axioma é satisfeito.
Passo 4
Agora testamos a distributividade em relação à soma de escalares, ou seja, se
O lado esquerdo é
enquanto o direito é
Em geral
.
Por exemplo, tome ,
e
. Então
Por exemplo, tome
Logo a igualdade falha. Portanto o axioma
não vale.
Passo 5
Finalmente testamos a compatibilidade do produto de escalares, ou seja,
O lado esquerdo é
e o direito é
Em geral
.
Por exemplo, para e
,
Por exemplo, para
Logo este axioma também falha.
Resposta
O conjunto
com
não é um espaço vetorial porque não se satisfazem os axiomas
-
, e -
.