Denote por Z o conjunto de todos os números inteiros com a soma definida da maneira usual e a multiplicação por um escalar definida por
onde denota o maiôs inteiro menor ou igual a . Por exemplo,
Mostre que Z não é um espaço vetorial em relação a essas operações. Quais dos axiomas não são válidos?]

Passo 1

O enunciado define o conjunto Z dos inteiros com a soma usual e a multiplicação por escalar
alpha circ k = llfloor alpha rrfloor cdot k,
onde lfloor alpharfloor é o maior inteiro menor ou igual a alpha. Queremos ver se (Z,+,circ) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Antes de mexer em escalares, note que (Z,+) é um grupo abeliano: a soma de inteiros é fechada, associativa, com elemento neutro 0, inversos -k e comutativa. Logo, todos os axiomas relativos à adição de vetores estão OK.

Passo 3

Verificamos agora se a multiplicação por escalar satisfaz os demais axiomas:
  1. Fechamento: para alphainR e kin Z, temos alphacirc k=lflooralpharfloor kin Z.
  2. Elemento neutro escalar:
1circ k = lfloor1rfloor,k = 1cdot k = k
Até aqui, tudo bem.
3. Distributividade em relação à soma de vetores:
alphacirc(k1 + k2) = lflooralpharfloor,(k1+k2) = lflooralpharfloor,k1+lflooralpharfloor,k2 = alphacirc k1 + alphacirc k2,
logo este axioma é satisfeito.

Passo 4

Agora testamos a distributividade em relação à soma de escalares, ou seja, se
(alpha+beta)circ k stackrel?=alphacirc k + betacirc k
O lado esquerdo é
(alpha+beta)circ k = lfloor alpha+betarfloor,k,
enquanto o direito é
alphacirc k + betacirc k = lfloor alpharfloor,k + lfloor betarfloor,k = l(lfloor alpharfloor + lfloor betarfloorr),k
Em geral lfloor alpha+betarfloor neq lfloor alpharfloor + lfloor betarfloor.
Por exemplo, tome alpha=1,5, beta=0,7 e k=1. Então
(alpha+beta)circ 1 = lfloor2,2rfloorcdot1 = 2, alphacirc1 + betacirc1 = lfloor1,5rfloor+lfloor0,7rfloor = 1+0 = 1
Logo a igualdade falha. Portanto o axioma
(alpha+beta)circ v = alphacirc v + betacirc v
não vale.

Passo 5

Finalmente testamos a compatibilidade do produto de escalares, ou seja,
(alphabeta)circ k stackrel?= alphacirc(betacirc k)
O lado esquerdo é
(alphabeta)circ k = lfloor alphabetarfloor,k,
e o direito é
alphacirc(betacirc k) = alphacircl(lfloor betarfloor,kr) = lfloor alpharfloor,l(lfloor betarfloor,kr) = l(lfloor alpharfloor,lfloor betarfloorr),k
Em geral lfloor alphabetarfloor neq lfloor alpharfloor,lfloor betarfloor.
Por exemplo, para alpha=beta=1,5 e k=1,
(alphabeta)circ1 = lfloor2,25rfloor = 2, alphacirc(betacirc1) = lfloor1,5rfloorcdotlfloor1,5rfloor = 1cdot1 = 1
Logo este axioma também falha.

Resposta

O conjunto Z com alphacirc k=lflooralpharfloor k não é um espaço vetorial porque não se satisfazem os axiomas
  1. (alpha+beta)circ v = alphacirc v + betacirc v, e
  2. (alphabeta)circ v = alphacirc(betacirc v).

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