Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano pi descrito abaixo.
pi : passa pelo ponto A=(1,0,-3) e é paralelo aos vetores u=[1,2,3] e v=[-2,0,1].

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétrica e cartesiana de um plano pi que passa pelo ponto A=(1,0,-3) e é paralelo aos vetores vec u=(1,2,3) e vec v=(-2,0,1).
Conteúdo: representação de plano em R^3 via equação vetorial/paramétrica e via equação cartesiana usando vetor normal obtido por produto vetorial.

Passo 2

A equação paramétrica do plano parte de
r(s,t) = OA + s,vec u + t,vec v
onde OA=(1,0,-3). Logo, em forma vetorial e depois componente a componente:
r(s,t) = (1,0,-3) + s,(1,2,3) + t,(-2,0,1)
x = 1 + s - 2t, y = 0 + 2s + 0cdot t = 2s, z = -3 + 3s + t

Passo 3

Para obter a equação cartesiana, precisamos do vetor normal vec n ao plano. Calculamos
vec n = vec u times vec v = det i & j & k 1 & 2 & 3 -2 & 0 & 1 = (2cdot1 - 3cdot0), i - (1cdot1 - 3cdot(-2)), j + (1cdot0 - 2cdot(-2)), k = (2,,-7,,4)

Passo 4

A forma cartesiana usa
vec ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
Substituindo vec n=(2,-7,4) e A=(1,0,-3):
2(x-1) -7(y-0) +4l(z+3r)=0
2x -2 -7y +4z +12 =0
2x -7y +4z +10 = 0

Resposta

Equação paramétrica:
x = 1 + s - 2t, y = 2s, z = -3 + 3s + t, s,tinR
Equação cartesiana:
2x - 7y + 4z + 10 = 0

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