A densidade bariônica do universo hoje corresponde a uma fração de 0,044 da densidade crítica. Calcule a densidade bariônica e expresse o resultado em número de átomos por metro cúbico.

Passo 1

O enunciado dá que a densidade bariônica hoje corresponde a uma fração de 0,044 da densidade crítica. A pergunta é: calcular a densidade bariônica e expressá‑la em número de átomos por metro cúbico.\n
Informações / escolhas que vou usar (não me pediu, então escolhi valores padrão para fazer o cálculo):\n
  • Fração bariônica: \,f_b=0,044.\n
  • Fórmula da densidade crítica: \rho_{\rm crit}=\dfrac{3H_0^2}{8\pi G} (usarei isso depois; explico cada termo ao aplicá‑la).\n
  • Constantes que vou usar:\n
    • Constante gravitacional: \,G=6,67430\times10^{-11}\\ \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}.\n
    • Valor escolhido para a constante de Hubble hoje (escolha padrão razoável): \,H_0=70\\ \text{km s}^{-1}\text{Mpc}^{-1}. Vou converter para \text{s}^{-1} no próximo passo.\n
    • Massa de um átomo de hidrogênio (aproximação: baryons correspondem essencialmente a prótons; assumimos 1 átomo ≈ 1 próton): \,m_p=1,6726\times10^{-27}\\ \text{kg}.\n
      Observação: estou aproximando “átomo” por “próton/átomo de hidrogênio” para converter massa bariônica em número de átomos; se quisesse contabilizar a fração de hélio isso mudaria ligeiramente o número final (poequivalente por átomo), mas a aproximação é a mais comum em exercícios desse tipo.

Passo 2

Apresento a fórmula da densidade crítica e explico os termos:\n
\rho_{\rm crit}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}.\n
Aqui:\n
  • \rho_{\rm crit} é a densidade crítica do universo hoje (unidade \text{kg m}^{-3}).\n
  • \,H_0 é a constante de Hubble hoje (unidade \text{s}^{-1}).\n
  • \,G é a constante gravitacional (unidade \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}).\n
    A densidade bariônica em massa é então \rho_b = f_b \rho_{\rm crit}. Para obter o número de átomos por metro cúbico dividimos \rho_b pela massa de um átomo (aqui usada m_p):\n
n_b=\frac{\rho_b}{m_p}=\frac{f_b\,\rho_{\rm crit}}{m_p}.

Passo 3

Converto \,H_0 para unidades SI ( \text{s}^{-1}).\n
\,H_0=70\\ \text{km s}^{-1}\text{Mpc}^{-1}=70\times10^3\\ \text{m s}^{-1}\div(1\\ \text{Mpc}).\n
Usando 1\\ \text{Mpc}=3,085677581\times10^{22}\\ \text{m},\n
H_0=\frac{70\times10^3}{3,085677581\times10^{22}}\\ \text{s}^{-1}\approx 2,2683\times10^{-18}\\ \text{s}^{-1}.

Passo 4

Calculo \rho_{\rm crit} numericamente usando a fórmula.\n
Primeiro \,H_0^2:\n
H_0^2\approx(2,2683\times10^{-18})^2\approx 5,145\times10^{-36}\\ \text{s}^{-2}.\n
Agora aplico a fórmula:\n
\rho_{\rm crit}=\frac{3H_0^2}{8\pi G} =\frac{3\times5,145\times10^{-36}}{8\pi\times6,67430\times10^{-11}}\\ \text{kg m}^{-3}.\n
Calcule o denominador: 8\pi G\approx 8\pi\times6,67430\times10^{-11}\approx1,6780\times10^{-9}.\n
Logo\n
\rho_{\rm crit}\approx\frac{1,5435\times10^{-35}}{1,6780\times10^{-9}}\\ \text{kg m}^{-3}\approx 9,20\times10^{-27}\\ \text{kg m}^{-3}.

Passo 5

Obtenho a densidade bariônica em massa multiplicando pela fração dada \,f_b=0,044:\n
\rho_b=f_b\,\rho_{\rm crit}=0,044\times 9,20\times10^{-27}\\ \text{kg m}^{-3}\approx 4,05\times10^{-28}\\ \text{kg m}^{-3}.

Passo 6

Converto a densidade em massa para número de átomos por metro cúbico, dividindo por m_p. Expliquei antes: assumo que cada átomo equivalente tem massa \,m_p=1,6726\times10^{-27}\\ \text{kg}.\n
n_b=\frac{\rho_b}{m_p}=\frac{4,05\times10^{-28}}{1,6726\times10^{-27}}\\ \text{m}^{-3}\approx 0,242\\ \text{m}^{-3}.\n
Em palavras: isso significa cerca de 0,24 átomos por metro cúbico — ou seja, menos de um átomo por metro cúbico em média hoje no universo. (Não é muito, eu sei — é literalmente quase vácuo cósmico.)

Passo 7

Resumo das aproximações feitas e impacto: usei H_0=70\\ \text{km s}^{-1}\text{Mpc}^{-1} e assumi que “átomo” ≈ “átomo de hidrogênio” (massa m_p). Se usar um valor ligeiramente diferente de H_0 ou incluir a presença de hélio (que aumenta a massa média por átomo), o resultado muda um pouco, mas a ordem de grandeza ( \sim 10^{-1} átomos m ^{-3}) permanece. Mantenha isso em mente na prova: se o enunciado der H_0 ou pedir para considerar fração de hélio, ajuste conforme mostrado nos passos.

Resposta

0,24\\ \text{átomos m}^{-3}á

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