Uma espira retangular de fio está imersa em um campo não-uniforme e variável B que é perpendicular ao plano do papel e dirigido para dentro do papel. O módulo do campo é dado por B=4 t^{2} x^{2}, com B em tesla, te em segundos e x em metros. A espira tem uma largura de 3,0 \mathrm{~m} e uma altura de 2,0 \mathrm{~m}. Determine o módulo e a direção da força eletromotriz induzida na espira no instante t=0,10 \mathrm{~s}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está indicado:
Campo magnético perpendicular ao plano do papel, dirigido para dentro do papel. O módulo do campo é \displaystyle B=4\,t^{2}x^{2}, com \displaystyle B em tesla, \displaystyle t em segundos e \displaystyle x em metros.
A espira é retangular, com largura \displaystyle 3{,}0\\ \mathrm{m} (direção que chamaremos de x) e altura \displaystyle 2{,}0\\ \mathrm{m} (direção que chamaremos de y).
Deseja-se determinar o módulo e a direção da força eletromotriz induzida na espira no instante \displaystyle t=0{,}10\\ \mathrm{s}.
Observação importante: o enunciado não especificou onde a espira está posicionada em relação ao eixo x. Para proceder, vou assumir (uma escolha natural e comum nesses problemas) que a espira ocupa a região \displaystyle 0\le x\le 3{,}0 e \displaystyle 0\le y\le 2{,}0. Se o problema assumisse outra posição em x, o procedimento é o mesmo, só mudariam os limites da integração em x.
Passo 2
Teoria necessária (explicada devagar e com carinho):
Fluxo magnético: o fluxo magnético através de uma superfície \displaystyle S é definido por
\Phi_{B}=\iint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A},
onde \displaystyle d\vec{A} é o vetor área (módulo igual à pequena área, direção normal à superfície). Aqui a espira está no plano do papel e \vec{B} é perpendicular ao papel, então \vec{B}\cdot d\vec{A}=B\,dA com sinal positivo se \vec{B} e d\vec{A} tiverem mesma orientação.
Lei de Faraday: a força eletromotriz (fem) induzida na espira é dada por
onde o sinal negativo (Lei de Lenz) indica que a corrente induzida tende a se opor à variação do fluxo. Para obter o módulo da \mathcal{E} basta calcular \left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right|.
Direção (sentido) do efeito: usamos a regra de Lenz. Se o fluxo para dentro do papel está aumentando, a corrente induzida criará um campo que sai do papel para se opor a esse aumento; o sentido da corrente que cria campo para fora do papel é anti-horário (sentido contrário se o campo for reduzido).
Passo 3
Montagem da integral do fluxo para o nosso caso:
Como \displaystyle B depende de x e t e é uniforme em y para um dado x, o fluxo é
O módulo da fem é \displaystyle \mathcal{E}=\left|\frac{d\Phi_{B}}{dt}\right|=|144\,t|. No instante \displaystyle t=0{,}10\\ \mathrm{s} temos
\mathcal{E}=144\times 0{,}10=14{,}4\\ \mathrm{V}.
Observação rápida de consistência de unidades: \Phi_{B} em \mathrm{T\cdot m^{2}}, derivada em \mathrm{T\cdot m^{2}/s}=\mathrm{V}, então o resultado tem unidades de volts como esperado.
Passo 6
Determinação da direção (sentido) da fem/ corrente induzida usando Lenz:
Para \displaystyle t>0 temos \displaystyle \frac{d\Phi_{B}}{dt}>0 (pois 144t>0), ou seja, o fluxo para dentro do papel está aumentando no instante considerado.
A corrente induzida tenderá a criar um campo magnético que se oponha a esse aumento — isto é, criará um campo para fora do papel.
Aplicando a regra do polegar/dedos (regra da mão direita): o sentido de corrente que produz campo para fora do papel é o sentido anti-horário (quando vemos a espira de frente, isto é, do mesmo lado do papel). Portanto o sentido da corrente induzida é anti-horário.
A força eletromotriz induzida tem sentido tal que empurra a corrente nesse sentido (anti-horário).
Resposta
\displaystyle 14{,}4\\ \mathrm{V}
sentido anti-horário (no plano da espira, visto de quem olha para o papel)