Uma espira retangular de fio está imersa em um campo não-uniforme e variável B que é perpendicular ao plano do papel e dirigido para dentro do papel. O módulo do campo é dado por B=4 t^{2} x^{2}, com B em tesla, te em segundos e x em metros. A espira tem uma largura de 3,0 \mathrm{~m} e uma altura de 2,0 \mathrm{~m}. Determine o módulo e a direção da força eletromotriz induzida na espira no instante t=0,10 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está indicado:
  • Campo magnético perpendicular ao plano do papel, dirigido para dentro do papel. O módulo do campo é \displaystyle B=4\,t^{2}x^{2}, com \displaystyle B em tesla, \displaystyle t em segundos e \displaystyle x em metros.
  • A espira é retangular, com largura \displaystyle 3{,}0\\ \mathrm{m} (direção que chamaremos de x) e altura \displaystyle 2{,}0\\ \mathrm{m} (direção que chamaremos de y).
  • Deseja-se determinar o módulo e a direção da força eletromotriz induzida na espira no instante \displaystyle t=0{,}10\\ \mathrm{s}.
Observação importante: o enunciado não especificou onde a espira está posicionada em relação ao eixo x. Para proceder, vou assumir (uma escolha natural e comum nesses problemas) que a espira ocupa a região \displaystyle 0\le x\le 3{,}0 e \displaystyle 0\le y\le 2{,}0. Se o problema assumisse outra posição em x, o procedimento é o mesmo, só mudariam os limites da integração em x.

Passo 2

Teoria necessária (explicada devagar e com carinho):
  • Fluxo magnético: o fluxo magnético através de uma superfície \displaystyle S é definido por
\Phi_{B}=\iint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A},
onde \displaystyle d\vec{A} é o vetor área (módulo igual à pequena área, direção normal à superfície). Aqui a espira está no plano do papel e \vec{B} é perpendicular ao papel, então \vec{B}\cdot d\vec{A}=B\,dA com sinal positivo se \vec{B} e d\vec{A} tiverem mesma orientação.
  • Lei de Faraday: a força eletromotriz (fem) induzida na espira é dada por
\mathcal{E}=\left|\,-\frac{d\Phi_{B}}{dt}\,\right|=\left|\frac{d\Phi_{B}}{dt}\right|,
onde o sinal negativo (Lei de Lenz) indica que a corrente induzida tende a se opor à variação do fluxo. Para obter o módulo da \mathcal{E} basta calcular \left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right|.
  • Direção (sentido) do efeito: usamos a regra de Lenz. Se o fluxo para dentro do papel está aumentando, a corrente induzida criará um campo que sai do papel para se opor a esse aumento; o sentido da corrente que cria campo para fora do papel é anti-horário (sentido contrário se o campo for reduzido).

Passo 3

Montagem da integral do fluxo para o nosso caso:
  • Como \displaystyle B depende de x e t e é uniforme em y para um dado x, o fluxo é
\Phi_{B}(t)=\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{2} B(x,t)\,dy\,dx.
  • Substituindo \displaystyle B=4t^{2}x^{2} obtemos a integral a ser resolvida.

Passo 4

Cálculo do fluxo passo a passo:
  • Primeiro integramos em y (como B não depende de y, essa integral só dá um fator igual à altura \displaystyle 2{,}0\\ \mathrm{m}):
\Phi_{B}(t)=\int_{0}^{3}\left(\int_{0}^{2}4t^{2}x^{2}\,dy\right)dx =\int_{0}^{3}4t^{2}x^{2}\left[\;y\;\right]_{0}^{2}\,dx.
  • Avaliando o colchete: \left[y\right]_{0}^{2}=2. Então
\Phi_{B}(t)=\int_{0}^{3}4t^{2}x^{2}\cdot 2\,dx=8t^{2}\int_{0}^{3}x^{2}\,dx.
  • Agora integramos \displaystyle x^{2}: \displaystyle \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}. Assim
\Phi_{B}(t)=8t^{2}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=8t^{2}\cdot\frac{3^{3}}{3}=8t^{2}\cdot\frac{27}{3}=8t^{2}\cdot 9.
  • Simplificando:
\Phi_{B}(t)=72\,t^{2}\quad\left(\mathrm{T\cdot m^{2}}\right).

Passo 5

Cálculo da força eletromotriz (módulo):
  • Derivando o fluxo em relação ao tempo:
\frac{d\Phi_{B}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(72\,t^{2}\bigr)=72\cdot 2t=144\,t.
  • O módulo da fem é \displaystyle \mathcal{E}=\left|\frac{d\Phi_{B}}{dt}\right|=|144\,t|. No instante \displaystyle t=0{,}10\\ \mathrm{s} temos
\mathcal{E}=144\times 0{,}10=14{,}4\\ \mathrm{V}.
  • Observação rápida de consistência de unidades: \Phi_{B} em \mathrm{T\cdot m^{2}}, derivada em \mathrm{T\cdot m^{2}/s}=\mathrm{V}, então o resultado tem unidades de volts como esperado.

Passo 6

Determinação da direção (sentido) da fem/ corrente induzida usando Lenz:
  • Para \displaystyle t>0 temos \displaystyle \frac{d\Phi_{B}}{dt}>0 (pois 144t>0), ou seja, o fluxo para dentro do papel está aumentando no instante considerado.
  • A corrente induzida tenderá a criar um campo magnético que se oponha a esse aumento — isto é, criará um campo para fora do papel.
  • Aplicando a regra do polegar/dedos (regra da mão direita): o sentido de corrente que produz campo para fora do papel é o sentido anti-horário (quando vemos a espira de frente, isto é, do mesmo lado do papel). Portanto o sentido da corrente induzida é anti-horário.
  • A força eletromotriz induzida tem sentido tal que empurra a corrente nesse sentido (anti-horário).

Resposta

\displaystyle 14{,}4\\ \mathrm{V}
sentido anti-horário (no plano da espira, visto de quem olha para o papel)

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