Explique por que a funçăo é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearizaçăo
da função naquele ponto.
.
(1, 1)
(1, 1)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede dois pontos:
– Mostrar que é diferenciável em
.
– Encontrar a linearização de
em
.
O conteúdo envolve conceito de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas e a fórmula da linearização.
– Mostrar que
– Encontrar a linearização
O conteúdo envolve conceito de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas e a fórmula da linearização.
Passo 2
Como
é um polinômio em
e
, suas derivadas parciais de primeira ordem existem e são contínuas em todo
. Por um teorema padrão de análise, função com derivadas parciais contínuas num ponto é diferenciável naquele ponto. Logo,
é diferenciável em
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais gerais e avaliamos em
:
Passo 4
A fórmula da linearização de
em
é
Sabendo que
, temos
Resposta
Opcionalmente, em forma simplificada: