Explique por que a funçăo é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearizaçăo L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=x^3 y^4.
(1, 1)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^3y^4 e pede dois pontos:
– Mostrar que f é diferenciável em (1,1).
– Encontrar a linearização L(x,y) de f em (1,1).
O conteúdo envolve conceito de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas e a fórmula da linearização.

Passo 2

Como f(x,y)=x^3y^4 é um polinômio em x e y, suas derivadas parciais de primeira ordem existem e são contínuas em todo R^2. Por um teorema padrão de análise, função com derivadas parciais contínuas num ponto é diferenciável naquele ponto. Logo, f é diferenciável em (1,1).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais gerais e avaliamos em (1,1):
fx(x,y)=3x^2y^4, fx(1,1)=3cdot1^2cdot1^4=3,
fy(x,y)=4x^3y^3, fy(1,1)=4cdot1^3cdot1^3=4

Passo 4

A fórmula da linearização de f em (a,b)=(1,1) é
L(x,y)=f(1,1)+fx(1,1),(x-1)+fy(1,1),(y-1)
Sabendo que f(1,1)=1^3cdot1^4=1, temos
L(x,y)=1+3(x-1)+4(y-1)

Resposta

L(x,y)=1+3(x-1)+4(y-1).
Opcionalmente, em forma simplificada: L(x,y)=3x+4y-6.

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