Calcule a seguinte integral dupla:
J=R^2 sen(varphi)
integral0^1 integralraizy^1 raiz1+x^3 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
J = integral0^1integralraizy^1raiz1 + x^3;dx,dy
O conteúdo é troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e depois uma substituição simples em uma integral de uma variável.

Passo 2

Vamos entender a região de integração R no plano (x,y). As desigualdades são
0 <= y <= 1, raizy <= x <= 1
Isto equivale a
0 <= x <= 1, 0 <= y <= x^2,
pois raizy<= x y<= x^2. Assim, reescrevemos
J = integralx=0^1integraly=0^x^2raiz1 + x^3;dy,dx

Passo 3

Agora integramos primeiro em y, tratando raiz1+x^3 como constante em relação a y. Temos
integraly=0^x^2raiz1 + x^3;dy = raiz1 + x^3;l[yr]0^x^2 = x^2,raiz1 + x^3
Logo
J = integral0^1 x^2,raiz1 + x^3;dx

Passo 4

Para calcular
integral0^1 x^2,raiz1 + x^3;dx
fazemos a substituição u = 1 + x^3. Então
du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3
Quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. A integral vira
integral0^1 x^2,raiz1 + x^3;dx = 13integralu=1^2 u^1/2;du

Passo 5

Calculamos a integral em u:
13integral1^2 u^1/2;du = 13,l[tfrac23u^3/2r]1^2 = 29l(2^3/2 - 1r) = 29l(2raiz2 - 1r)
Portanto
J = 29l(2raiz2 - 1r)

Resposta

J = 29l(2raiz2 - 1r)

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