A densidade de um certo líquido é dada por uma equação da seguinte forma:
\rho=(A+B \cdot T) \cdot \exp (C P)
Onde \rho= densidade em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}
\mathrm{T}= temperatura em { }^{0} \mathrm{C}
\mathrm{P}= pressão em atm
a) Sabendo que a equação tem consistência dimensional, quais são as unidades de \mathrm{A}, \mathrm{B} \mathrm{e} \mathrm{C} ?
b) Nas unidades acima, \mathrm{A}=1,096, \mathrm{~B}=0,00086, \mathrm{C}=0,000953, encontre A , B e C se \rho for expresso em \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}, T em R e P em lbf/ \mathrm{in}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de um líquido pela lei
\rho = \bigl(A + B\,T\bigr)\,\exp\bigl(C\,P\bigr)
onde \rho está em \mathrm{g/cm^3}, T em {}^\circ\mathrm C e P em atm. Precisamos (a) garantir consistência dimensional para descobrir as unidades de A, B e C, e (b) converter os valores numéricos
A=1{,}096,\quad B=0{,}00086,\quad C=0{,}000953
para que a fórmula passe a usar \rho em \mathrm{lbm/ft^3}, T em R e P em lbf/in ^2 (psi).

Passo 2

Para manter a consistência dimensional, observe que dentro da exponencial C\,P deve ser adimensional. Como P está em atm,
[C] = \mathrm{(atm)^{-1}}.
Além disso, A + B\,T deve ter as mesmas unidades de \rho, ou seja \mathrm{g/cm^3}. Como T está em {}^\circ\mathrm C,
[A] = \mathrm{g/cm^3}, \qquad [B] = \frac{\mathrm{g/cm^3}}{{}^\circ\mathrm C}.

Passo 3

Agora convertemos a constante C. Queremos que C' multiplique P' em psi e mantenha C\,P_{\rm atm} = C'\,P_{\rm psi}. Como
1\;\mathrm{atm} = 14{,}696\;\mathrm{psi},
temos
C' = \frac{C}{14{,}696} = \frac{0{,}000953}{14{,}696} \approx 6{,}49\times10^{-5}\;\mathrm{psi^{-1}}.

Passo 4

Para A e B há três fatores a ajustar: (i) converter densidade de \mathrm{g/cm^3} para \mathrm{lbm/ft^3}, (ii) traduzir T de {}^\circ\mathrm C para Rankine, (iii) acomodar o deslocamento de zero da escala.
  1. Fator de densidade:
1\;\mathrm{g/cm^3} = 62{,}428\;\mathrm{lbm/ft^3}.
  1. Relação T_C\to T_R:
T_R = \bigl(T_C + 273{,}15\bigr)\times\frac{9}{5} = 1{,}8\,T_C + 491{,}67.
  1. Escrevemos
\rho_{\rm lb/ft^3} =62{,}428\,(A + B\,T_C)\,\exp(C\,P_{\rm atm}) = \bigl(A' + B'\,T_R\bigr)\,\exp(C'\,P_{\rm psi}).
Como C\,P_{\rm atm}=C'\,P_{\rm psi}, igualamos
62{,}428\,(A + B\,T_C) = A' + B'\,T_R = A' + B'\bigl(1{,}8\,T_C+491{,}67\bigr).
Desenvolvendo e igualando coeficiente de T_C e termo constante:
62{,}428\,A = A' + 491{,}67\,B', \quad 62{,}428\,B = 1{,}8\,B'.
Da segunda equação,
B' = \frac{62{,}428\,B}{1{,}8} = \frac{62{,}428\times0{,}00086}{1{,}8} \approx0{,}02985\;\mathrm{lbm/(ft^3\,R)}.
Da primeira,
A' = 62{,}428\,A \;-\; 491{,}67\,B' = 62{,}428\times1{,}096 \;-\; 491{,}67\times0{,}02985 \approx 54{,}18\;\mathrm{lbm/ft^3}.

Resposta

a) [A]=\mathrm{g/cm^3},\quad [B]=\mathrm{g/(cm^3\cdot{}^\circ C)},\quad [C]=\mathrm{atm^{-1}}.
b)
A' \approx 54{,}18\;\mathrm{lbm/ft^3}, \quad B' \approx 0{,}02985\;\mathrm{lbm/(ft^3\,R)}, \quad C' \approx 6{,}49\times10^{-5}\;\mathrm{psi^{-1}}.

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