A densidade de um certo líquido é dada por uma equação da seguinte forma:
\rho=(A+B \cdot T) \cdot \exp (C P)
Onde \rho= densidade em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}
\mathrm{T}= temperatura em { }^{0} \mathrm{C}
\mathrm{P}= pressão em atm
a) Sabendo que a equação tem consistência dimensional, quais são as unidades de \mathrm{A}, \mathrm{B} \mathrm{e} \mathrm{C} ?
b) Nas unidades acima, \mathrm{A}=1,096, \mathrm{~B}=0,00086, \mathrm{C}=0,000953, encontre A , B e C se \rho for expresso em \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}, T em R e P em lbf/ \mathrm{in}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a lei\r
\rho = (A + B\,T)\,\exp\bigl(C\,P\bigr)\r
com \rho em \mathrm{g/cm^3}, T em °C e P em atm, e pede:\r
a) as unidades de A, B e C por consistência dimensional; \r
b) convertê-los para unidades em que \rho fica em lbm/f t^{3}, T em R e P em lbf/i n^{2}.

Passo 2

Para a parte (a), note que:\r
  • O termo A + B\,T deve ter a mesma unidade de \rho, ou seja \mathrm{g/cm^3}. \r
  • Logo A tem unidade de \mathrm{g/cm^3}. \r
  • Como B\,T também está somando com A, B deve ter unidade de \mathrm{(g/cm^3)/\circC}. \r
  • No expoente \exp(C\,P), o argumento C\,P deve ser adimensional. Como P está em atm, C deve ter unidade de \mathrm{1/atm}. \r
    \r
    Logo:\r
    a) \r \displaystyle A:\mathrm{g/cm^3},\quad B:\mathrm{g/(cm^3\cdot{}\circC)},\quad C:\mathrm{atm^{-1}}.

Passo 3

Para a parte (b) precisamos dos fatores de conversão de unidades:\r
\r
  1. Densidade: \r \displaystyle 1\;\mathrm{g/cm^3}=62{,}428\;\mathrm{lbm/ft^3}.\r
    \r
  2. Temperatura (variação): \r \displaystyle 1\;\circR=5/9\;\circC\quad\Longrightarrow\quad 1\;\circC=9/5\;\circR.\r
    \r
  3. Pressão: \r \displaystyle 1\;\mathrm{atm}=14{,}696\;\mathrm{lbf/in^2}.

Passo 4

Aplicando as conversões aos parâmetros originais \r \displaystyle A=1{,}096, \displaystyle B=0{,}00086, \displaystyle C=0{,}000953:\r
\r
  1. A_{\rm new}=A\times62{,}428 \displaystyle A_{\rm new}=1{,}096\times62{,}428\approx68{,}40\;\mathrm{lbm/ft^3}.\r
    \r
  2. B_{\rm new}=B\times\bigl(5/9\bigr)\times62{,}428 (porque B era por °C e agora é por R) \r \displaystyle B_{\rm new}=0{,}00086\times\frac{5}{9}\times62{,}428\approx0{,}0298\;\mathrm{lbm/(ft^3\cdot R)}.\r
    \r
  3. C_{\rm new}=C\div14{,}696 (de \mathrm{atm^{-1}} para \mathrm{(lbf/in^2)^{-1}}) \r \displaystyle C_{\rm new}=\frac{0{,}000953}{14{,}696}\approx6{,}49\times10^{-5}\;\mathrm{(lbf/in^2)^{-1}}.

Resposta

a) \r A:\mathrm{g/cm^3},\quad B:\mathrm{g/(cm^3\cdot{}\circC)},\quad C:\mathrm{atm^{-1}}.\r
\r
b) \r A=68{,}40\;\mathrm{lbm/ft^3},\quad B=0{,}0298\;\mathrm{lbm/(ft^3\cdot R)},\quad C=6{,}49\times10^{-5}\;\mathrm{(lbf/in^2)^{-1}}.

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