Na década de 70, a OPEP (Organização dos Produtores e Exportadores de Petróleo) estabeleceu que o petróleo de seus filiados deveria ser vendido de acordo com a seguinte fórmula:
P=5,10 \frac{v^{1 / 2} \rho^{1 / 2} \lambda^{1 / 3}}{\mu^{2}} \text { em que: }
P - preço em dólares;
v - volume em barris;
\rho - massa específica em \mathrm{lb}_{\mathrm{m}} / barril;
\lambda - poder calorífico em BTU/lb { }_{\mathrm{m}};
\mu - viscosidade em \mathrm{lb}_{\mathrm{m}} / \mathrm{ft} \mathrm{h}, a 100^{\circ} \mathrm{F}.
Converter esta fórmula para as seguintes unidades:
P - preço em reais;
v - volume em \mathrm{m}^{3};
\rho - massa específica em \mathrm{kg} / \mathrm{l};
\lambda - poder calorífico em \mathrm{kcal} / \mathrm{kg};
\mu-viscosidade em cP a 100^{\circ} \mathrm{F}.
Suponha que tal fórmula seja aplicada hoje (US$1,00 = R$1,65).

Passo 1

O enunciado dá a fórmula original
P_{\text{US\$}} = 5,10 \,\frac{v^{1/2}\,\rho^{1/2}\,\lambda^{1/3}}{\mu^{2}}
com as unidades:
v em barris
\rho em \mathrm{lb_{m}/bbl}
\lambda em \mathrm{BTU/lb_{m}}
\mu em \mathrm{lb_{m}/(ft\cdot h)}
P_{\text{US\$}} em dólares.
Queremos a mesma relação, mas com:
v em \mathrm{m^{3}}
\rho em \mathrm{kg/L}
\lambda em \mathrm{kcal/kg}
\mu em cP
P em reais (taxa US$ 1= R$1,65).
Para isso, fazemos as conversões de cada variável e ajustamos o coeficiente numérico.

Passo 2

Conversão de volume:
1 barril =0,158987 m^{3}
v_{\text{bbl}} = \frac{v_{\text{m}^3}}{0.158987} \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{bbl}}^{1/2} = 0.158987^{-1/2}\,v_{\text{m}^3}^{1/2} =2{,}50796\,v_{\text{m}^3}^{1/2}.

Passo 3

Conversão de densidade:
1 barril =158,987 L e 1 lbₘ =0,453592 kg ⇒
\rho_{\mathrm{lb_m/bbl}} = \rho_{\mathrm{kg/L}}\times\frac{158{,}987}{0,453592} =350{,}831\,\rho_{\mathrm{kg/L}} \quad\Longrightarrow\quad \rho_{\mathrm{lb_m/bbl}}^{1/2} =18{,}7346\,\rho_{\mathrm{kg/L}}^{1/2}.

Passo 4

Conversão de poder calorífico:
1 BTU =0,252 kcal e 1 lbₘ =0,453592 kg ⇒
1\;\frac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lb_m}} = \frac{0{,}252\;\mathrm{kcal}}{0{,}453592\;\mathrm{kg}} =0{,}555556\;\frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}},
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\lambda_{\mathrm{BTU/lb_m}} =1{,}8\,\lambda_{\mathrm{kcal/kg}} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{\mathrm{BTU/lb_m}}^{1/3} =1{,}8^{1/3}\,\lambda_{\mathrm{kcal/kg}}^{1/3} =1{,}21901\,\lambda_{\mathrm{kcal/kg}}^{1/3}.

Passo 5

Conversão de viscosidade:
1 lbₘ/(f t\cdot h) = \dfrac{0,453592}{0,3048\times3600} kg/( m\cdot s) =0,00041384 P a\cdot s =0,41384 cP,
então
\mu_{\mathrm{lb_m/(ft\cdot h)}} =\frac{\mu_{\mathrm{cP}}}{0,41384} \quad\Longrightarrow\quad \mu^{2}_{\mathrm{orig}} =\frac{\mu_{\mathrm{cP}}^{2}}{0,41384^{2}} =\frac{\mu_{\mathrm{cP}}^{2}}{0,171241}.

Passo 6

Substituindo tudo em P_{\text{US\$}} e coletando os fatores numéricos:
P_{\text{US\$}} =5{,}10 \times 2{,}50796\times18{,}7346\times1{,}21901 \times0{,}171241\;\frac{v^{1/2}\rho^{1/2}\lambda^{1/3}}{\mu^{2}} \approx49{,}98\;\frac{v^{1/2}\rho^{1/2}\lambda^{1/3}}{\mu^{2}}.
Convertendo para reais \times1,65:
P_{\mathrm{R\$}} \approx49{,}98\times1{,}65\; \frac{v^{1/2}\rho^{1/2}\lambda^{1/3}}{\mu^{2}} \approx82{,}47\;\frac{v^{1/2}\rho^{1/2}\lambda^{1/3}}{\mu^{2}}.

Resposta

P_{\mathrm{R\$}} =82{,}5\;\frac{v^{1/2}\,\rho^{1/2}\,\lambda^{1/3}}{\mu^{2}}
com v em \mathrm{m^{3}}, \rho em \mathrm{kg/L}, \lambda em \mathrm{kcal/kg}, \mu em cP, e P em reais.

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