Considere a função então:
b ) determine a taxa de variação partir do ponto na direção do vetor
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos determinar a taxa de variação dessa função no ponto na direção do vetor . Aqui, estamos lidando com derivadas direcionais, que nos mostram como a função muda em uma direção específica.
Passo 2
Para encontrar a taxa de variação na direção de um vetor, precisamos primeiro calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. No nosso caso:
Então, o gradiente de é:
No ponto , o gradiente fica:
Passo 3
Agora, precisamos garantir que o vetor direção seja um vetor unitário (ou seja, de comprimento 1). Calculamos o comprimento do vetor usando a fórmula da magnitude:
Como , o vetor já é unitário e não precisamos fazer nenhuma alteração.
Passo 4
A taxa de variação na direção do vetor Dv f(1, 2) = nabla f(1, 2) cdot v = (2, 1) cdot (raiz32, 12) é chamada de derivada direcional. Ela é calculada pelo produto escalar entre o gradiente da função no ponto considerado e o vetor direção. Ou seja: