Considere a função f(x, y)=x y então:
b ) determine a taxa de variação partir do ponto P(1,2) na direção do vetor v=(raiz32 12)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos determinar a taxa de variação dessa função no ponto na direção do vetor . Aqui, estamos lidando com derivadas direcionais, que nos mostram como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Para encontrar a taxa de variação na direção de um vetor, precisamos primeiro calcular o gradiente da função partial fpartial x = y e partial fpartial y = x . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. No nosso caso:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (y, x)
Então, o gradiente de nabla f(1, 2) = (2, 1) é:
No ponto , o gradiente fica:

Passo 3

Agora, precisamos garantir que o vetor direção |v| = raiz(raiz32)^2 + (12)^2 = raiz34 + 14 = raiz1 = 1 seja um vetor unitário (ou seja, de comprimento 1). Calculamos o comprimento do vetor usando a fórmula da magnitude:
Como , o vetor já é unitário e não precisamos fazer nenhuma alteração.

Passo 4

A taxa de variação na direção do vetor Dv f(1, 2) = nabla f(1, 2) cdot v = (2, 1) cdot (raiz32, 12) é chamada de derivada direcional. Ela é calculada pelo produto escalar entre o gradiente da função no ponto considerado e o vetor direção. Ou seja:
Dv f(1, 2) = 2 cdot raiz32 + 1 cdot 12 = raiz3 + 12
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação na direção do vetor é .

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