A densidade conjunta de
e
é dada por
Determine
.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que a densidade conjunta de
f(x,y)=x,e^-x(y+1), x>0, y>0 e
Pl(Y<= tfractx,m|,X=xr) é
e pede para a gente achar
Ou seja, é um problema de probabilidade condicional envolvendo densidades contínuas.
O que vai precisar:
O que vai precisar:
- Calcular a densidade marginal de
, . - Usar a fórmula da densidade condicional
. - Integrar
de até para achar a probabilidade.
Passo 2
Primeiro vamos achar a densidade marginal de
fX(x)=integral0^inftyf(x,y),dy =integral0^inftyx,e^-x(y+1),dy :
Extraindo o fator que não depende de
fX(x)=x,e^-xcdot1x=e^-x, x>0 :
Sabemos que
(é a integral da exponencial).
Então
Então
Passo 3
Agora usamos a fórmula da densidade condicional:
Repara que deu a densidade de uma exponencial de parâmetro
.
Passo 4
Pra achar
Vamos integrar passo a passo: