A densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y)=x e^-x(y+1), x, y>0
Determine P(Y <= tx rvert, X=x).

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a densidade conjunta de f(x,y)=x,e^-x(y+1), x>0, y>0 e Pl(Y<= tfractx,m|,X=xr) é
e pede para a gente achar
Ou seja, é um problema de probabilidade condicional envolvendo densidades contínuas.
O que vai precisar:
  • Calcular a densidade marginal de , .
  • Usar a fórmula da densidade condicional .
  • Integrar de até para achar a probabilidade.

Passo 2

Primeiro vamos achar a densidade marginal de fX(x)=integral0^inftyf(x,y),dy =integral0^inftyx,e^-x(y+1),dy :
fX(x) = x,e^-xintegral0^inftye^-x y,dy
Extraindo o fator que não depende de fX(x)=x,e^-xcdot1x=e^-x, x>0 :
Sabemos que (é a integral da exponencial).
Então

Passo 3

Agora usamos a fórmula da densidade condicional:
fY|X(y|x) =f(x,y)fX(x) =x,e^-x(y+1)e^-x = x,e^-x y, y>0
Repara que deu a densidade de uma exponencial de parâmetro .

Passo 4

Pra achar
Pl(Y<= tfractx,m|,X=xr) =integral0^t/xfY|X(y|x),dy =integral0^t/xx,e^-x y,dy
Vamos integrar passo a passo:
integral0^t/xx,e^-x y,dy = l[-e^-x yr]0^t/x = l(1 - e^-xcdot(t/x)r) =1 - e^-t

Resposta

boxedPl(Y<= tfractx,m|,X=xr)=1 - e^-t

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