A densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y)=x e^-x(y+1), x, y>0
Z e X são independentes?

Passo 1

Beleza, irmão, vamos lá entender o que a questão tá pedindo. A gente tem duas variáveis aleatórias contínuas, fX,Y(x,y)=x,e^-x(y+1), x>0,;y>0 e , com densidade conjunta
A pergunta: se eu criar , será que e são independentes?
Conteúdo envolvido: variáveis contínuas, mudança de variáveis (Jacobi­ano) e critério de independência (fatorização da densidade conjunta).

Passo 2

Primeiro, vamos explicar o que é independência para variáveis contínuas.
Duas variáveis fX,Z(x,z) ;=; fX(x);cdot;fZ(z) e são independentes se, para todo e , a densidade conjunta satisfaz
Ou seja, dá pra “separar” em produto de marginais. Estratégia:
  1. achar via mudança de variáveis saindo de para ,
  2. calcular marginais e ,
  3. ver se .

Passo 3

Fazendo a troca de variáveis J = |det partial x/partial x & partial x/partial z[6pt] partial y/partial x & partial y/partial z | = |det 1 & 0 -tfraczx^2 & tfrac1x | = 1x com fX,Z(x,z) = fX,Yl(x,,y=z/xr);times;1x .
  • Inversão: dado , temos e .
  • Jacobiano:
Então a densidade conjunta transformada é

Passo 4

Substituindo:
fX,Yl(x,tfraczxr) = x;expl[-,xl(tfraczx+1r)r] = x;e^-(z + x)
Multiplicando pelo Jacobiano fX,Z(x,z) = l(x,e^-(z+x)r),1x = e^-x;e^-z para x>0,;z>0 :
fX,Z(x,z) = l(e^-xr),l(e^-zr)
Percebe que isso separa:
fX(x)=e^-x, fZ(z)=e^-z,
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fX,Z(x,z)=fX(x),fZ(z)
e realmente

Resposta

Sim! e são independentes, pois a densidade conjunta fatoriza em .

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