A densidade conjunta de
e
é dada por
Determine a densidade condicional de
dado
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade conjunta
e pede a densidade condicional de
O conteúdo é Probabilidade (densidades conjuntas e condicionais) e a gente vai usar duas coisas principais:
1) a fórmula de densidade condicional
2) como obter a densidade marginal de
Passo 2
Lembra que, em geral,
Ou seja, a gente vai dividir a densidade conjunta pela densidade marginal de
.
Então primeiro precisamos achar .
Então primeiro precisamos achar
Passo 3
Para achar a marginal
a gente integra
em
de
até
:
Vamos calcular
:
-
. -
.
Então
Logo
Passo 4
Ainda falta saber
. Como o total da densidade deve dar 1, fazemos
Mas
.
Então
Então
Substituindo em
:
Passo 5
Agora podemos montar a condicional: