A densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y)=c(x^2-y^2) e^-x, x>0,-x
Determine a densidade condicional de Y dado X=x.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade conjunta
f(x,y)=c,(x^2 - y^2),e^-x, x>0,;-x
e pede a densidade condicional de dado .
O conteúdo é Probabilidade (densidades conjuntas e condicionais) e a gente vai usar duas coisas principais:
1) a fórmula de densidade condicional
2) como obter a densidade marginal de a partir da conjunta.

Passo 2

Lembra que, em geral,
fYmid X(ymid x) =fX,Y(x,y)fX(x)
Ou seja, a gente vai dividir a densidade conjunta pela densidade marginal de .
Então primeiro precisamos achar .

Passo 3

Para achar a marginal fX(x) =integral-x^x c,(x^2 - y^2),e^-x,dy = c,e^-x integral-x^x(x^2 - y^2),dy a gente integra integral-x^x(x^2 - y^2),dy =2x^3 - 2x^33 =4x^33 em fX(x) = c,e^-x,4x^33 de até :
Vamos calcular :
  • .
  • .
    Então
Logo

Passo 4

Ainda falta saber 1=integral dupla f(x,y),dy,dx =integral0^inftyl[c,e^-x,4x^33r]dx = c,43integral0^inftyx^3e^-xdx . Como o total da densidade deve dar 1, fazemos
1= c,43times 6 = ccdot 8 Longrightarrow c=18
Mas fX(x) =18,e^-x,4x^33 =424,x^3e^-x =16,x^3e^-x .
Então
Substituindo em :

Passo 5

Agora podemos montar a condicional:
fYmid X(ymid x) =f(x,y)fX(x) =18,(x^2-y^2),e^-x 16,x^3e^-x =1/81/6;x^2-y^2x^3 =68;x^2-y^2x^3 =34;x^2-y^2x^3

Resposta

boxedfYmid X(ymid x) =3,(x^2-y^2)4,x^3, -x0

Exercícios relacionados