A densidade de corrente J no interior de um fio cilíndrico longo de raio
é paralela ao eixo central e varia em função da distância radial
conforme a equação
. Determine o módulo do campo magnético para uma distância radial
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um fio cilíndrico bem longo, com raio $ R = 5 $ mm. A densidade de corrente $ J $ dentro desse fio varia com a distância radial $ r $ de acordo com a equação $ J = 200 r^2 $. A pergunta é: qual é o módulo do campo magnético $ B $ numa distância radial $ r = \frac{R}{2} $, ou seja, $ r = 2,5 $ mm? Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère e entender como calcular a corrente envolvida.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da Lei de Ampère, que nos ajuda a relacionar o campo magnético com a corrente que o gera. A Lei de Ampère é dada por:
Aqui, $ \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} $ é a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $), e $ I_{encl} $ é a corrente total dentro desse caminho.
Passo 3
Como o fio é cilíndrico e a densidade de corrente depende apenas da distância radial $ r $, podemos escolher um caminho circular de raio $ r = 2,5 $ mm para simplificar a integral. Nesse caso, o campo magnético $ \mathbf{B} $ é constante ao longo do caminho e paralelo a ele, então a integral fica:
Portanto, podemos isolar $ B $:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a corrente total $ I_{encl} $ dentro do raio $ r = 2,5 $ mm. A corrente é a integral da densidade de corrente sobre a área:
Substituindo $ J = 200 r’^2 $:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Calculando isso:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos $ I_{encl} $ na equação do campo magnético:
Simplificando:
Resposta
O módulo do campo magnético na distância radial $ r = 2,5 $ mm é aproximadamente $ 9,84 \times 10^{-12} $ Tesla.