A densidade de corrente J no interior de um fio cilíndrico longo de raio R=5 mm é paralela ao eixo central e varia em função da distância radial r conforme a equação J=200 r^2. Determine o módulo do campo magnético para uma distância radial r=R / 2 (2 , 0)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um fio cilíndrico bem longo, com raio $ R = 5 $ mm. A densidade de corrente $ J $ dentro desse fio varia com a distância radial $ r $ de acordo com a equação $ J = 200 r^2 $. A pergunta é: qual é o módulo do campo magnético $ B $ numa distância radial $ r = \frac{R}{2} $, ou seja, $ r = 2,5 $ mm? Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère e entender como calcular a corrente envolvida.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da Lei de Ampère, que nos ajuda a relacionar o campo magnético com a corrente que o gera. A Lei de Ampère é dada por:
oint B cdot dl = mu0 Iencl
Aqui, $ \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} $ é a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $), e $ I_{encl} $ é a corrente total dentro desse caminho.

Passo 3

Como o fio é cilíndrico e a densidade de corrente depende apenas da distância radial $ r $, podemos escolher um caminho circular de raio $ r = 2,5 $ mm para simplificar a integral. Nesse caso, o campo magnético $ \mathbf{B} $ é constante ao longo do caminho e paralelo a ele, então a integral fica:
r
Portanto, podemos isolar $ B $:
r = 2,5

Passo 4

Agora, precisamos calcular a corrente total $ I_{encl} $ dentro do raio $ r = 2,5 $ mm. A corrente é a integral da densidade de corrente sobre a área:
Iencl
Substituindo $ J = 200 r’^2 $:
r = 2,5

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral0^2,5 mm r'^3 dr' = [r'^44]0^2,5 mm = (2,5)^44 mm^4
Calculando isso:
(2,5)^4 = 39,0625 e 39,06254 = 9,765625 mm^4
Então:
Iencl = 400pi times 9,765625 times 10^-12 m^4 (como 1 mm = 10^-3 m)
Iencl = 400pi times 9,765625 times 10^-12 Acdotm^2/m^2 = 400pi times 9,765625 times 10^-12 A
Iencl approx 400 times 3,1416 times 9,765625 times 10^-12 A approx 1,230 times 10^-7 A

Passo 6

Agora, substituímos $ I_{encl} $ na equação do campo magnético:
Iencl
Simplificando:
B = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A times 1,230 times 10^-7 A2pi times 2,5 times 10^-3 m
B = 4 times 10^-7 times 1,230 times 10^-72 times 2,5 times 10^-3 T

Resposta

O módulo do campo magnético na distância radial $ r = 2,5 $ mm é aproximadamente $ 9,84 \times 10^{-12} $ Tesla.

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