Sabendo que uma partícula se movimenta por x=raiz2 cdot t+3,75 t^3 -0,5 t^2-7, x em m e t em segundos, determine:
A velocidade instantánea quando t=2,5 d

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a velocidade instantânea de uma partícula em um determinado tempo. Estamos lidando com a cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Para resolver isso, vamos precisar da derivada da função de posição em relação ao tempo, que nos dá a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função de posição da partícula:
x(t) = raiz2 cdot t + 3,75 cdot t^3 - 0,5 cdot t^2 - 7
Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos derivar $ x(t) $ em relação a $ t $. A derivada nos mostra a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade.

Passo 3

Vamos calcular a derivada $ v(t) = \frac{dx}{dt} $:
  1. Derivada de $ \sqrt{2} \cdot t $ é $ \sqrt{2} $.
  2. Derivada de $ 3,75 \cdot t^{3} $ é $ 11,25 \cdot t^{2} $ (usando a regra $ d(t^n)/dt = n \cdot t^{n-1} $).
  3. Derivada de $ -0,5 \cdot t^{2} $ é $ -1 \cdot t $.
  4. Derivada de $ -7 $ é $ 0 $ (constante).
Então, juntando tudo:
v(t) = dxdt

Passo 4

Agora, vamos substituir $ t = 2,5 $ segundos na expressão da velocidade:
t = 2,5
Calculando passo a passo:
  1. $ (2,5)^{2} = 6,25 $
  2. $ 11,25 \cdot 6,25 = 70,3125 $
  3. $ \sqrt{2} \approx 1,4142 $
  4. $ 1,4142 + 70,3125 - 2,5 = 69,2267 $

Resposta

A velocidade instantânea quando $ t = 2,5 $ segundos é aproximadamente 69,23 m/s.

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