Sabendo que uma partícula se movimenta por
em m e
segundos, determine:
A velocidade instantánea quando
A velocidade instantánea quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a velocidade instantânea de uma partícula em um determinado tempo. Estamos lidando com a cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Para resolver isso, vamos precisar da derivada da função de posição em relação ao tempo, que nos dá a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função de posição da partícula:
Para encontrar a velocidade instantânea, precisamos derivar $ x(t) $ em relação a $ t $. A derivada nos mostra a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade.
Passo 3
Vamos calcular a derivada $ v(t) = \frac{dx}{dt} $:
- Derivada de $ \sqrt{2} \cdot t $ é $ \sqrt{2} $.
- Derivada de $ 3,75 \cdot t^{3} $ é $ 11,25 \cdot t^{2} $ (usando a regra $ d(t^n)/dt = n \cdot t^{n-1} $).
- Derivada de $ -0,5 \cdot t^{2} $ é $ -1 \cdot t $.
- Derivada de $ -7 $ é $ 0 $ (constante).
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ t = 2,5 $ segundos na expressão da velocidade:
Calculando passo a passo:
- $ (2,5)^{2} = 6,25 $
- $ 11,25 \cdot 6,25 = 70,3125 $
- $ \sqrt{2} \approx 1,4142 $
- $ 1,4142 + 70,3125 - 2,5 = 69,2267 $
Resposta
A velocidade instantânea quando $ t = 2,5 $ segundos é aproximadamente 69,23 m/s.