A densidade de corrente
no interior de um fio cilíndrico longo de raio
é paralela ao eixo central e uniforme com um valor de
. Determine o módulo do campo magnético para uma distância radial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio cilíndrico bem longo, com raio $ R = 3 , mm $, onde a densidade de corrente $ J = 50 , A/m^2 $ é constante e paralela ao eixo do fio. O que a gente precisa descobrir é qual é a intensidade do campo magnético $ B $ numa distância radial de $ r = R/2 $ dentro do fio. Vamos usar a Lei de Ampère para achar essa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade de corrente $ J $. Ela representa a quantidade de corrente passando por unidade de área perpendicular ao fluxo da corrente. No nosso caso, $ J = 50 , A/m^2 $, e isso é constante em todo o fio.
Passo 3
Agora, para encontrar o campo magnético $ B $ em um ponto a uma distância $ r = R/2 $ do centro do fio, vamos usar a Lei de Ampère. Ela nos diz que:
Onde:
- $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado.
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $).
- $ I_{enc} $ é a corrente encerrada pelo caminho.
Passo 4
Escolhemos um caminho circular centrado no fio, com raio $ r = R/2 $. Devido à simetria, o campo magnético $ B $ tem o mesmo valor em todos os pontos dessa circunferência e é sempre tangente ao caminho. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular $ I_{enc} $, a corrente que passa dentro do raio $ r = R/2 $. Sabemos que a densidade de corrente $ J $ é $ 50 , A/m^2 $, então:
Substituindo $ r = R/2 $:
Passo 6
Vamos calcular $ I_{enc} $:
Passo 7
Agora, voltamos à equação da Lei de Ampère:
Isolando $ B $:
Substituindo os valores:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
O módulo do campo magnético a uma distância radial de $ r = R/2 $ é aproximadamente $ B = 4.7 \times 10^{-8} , T $.