A densidade de corrente J no interior de um fio cilíndrico longo de raio R=3 mm é paralela ao eixo central e uniforme com um valor de J=50 A / m^2. Determine o módulo do campo magnético para uma distância radial r=R / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio cilíndrico bem longo, com raio $ R = 3 , mm $, onde a densidade de corrente $ J = 50 , A/m^2 $ é constante e paralela ao eixo do fio. O que a gente precisa descobrir é qual é a intensidade do campo magnético $ B $ numa distância radial de $ r = R/2 $ dentro do fio. Vamos usar a Lei de Ampère para achar essa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade de corrente $ J $. Ela representa a quantidade de corrente passando por unidade de área perpendicular ao fluxo da corrente. No nosso caso, $ J = 50 , A/m^2 $, e isso é constante em todo o fio.

Passo 3

Agora, para encontrar o campo magnético $ B $ em um ponto a uma distância $ r = R/2 $ do centro do fio, vamos usar a Lei de Ampère. Ela nos diz que:
B
Onde:
  • $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado.
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $).
  • $ I_{enc} $ é a corrente encerrada pelo caminho.

Passo 4

Escolhemos um caminho circular centrado no fio, com raio $ r = R/2 $. Devido à simetria, o campo magnético $ B $ tem o mesmo valor em todos os pontos dessa circunferência e é sempre tangente ao caminho. Então, a integral fica:
r = R/2

Passo 5

Agora, precisamos calcular $ I_{enc} $, a corrente que passa dentro do raio $ r = R/2 $. Sabemos que a densidade de corrente $ J $ é $ 50 , A/m^2 $, então:
Ienc Á
Substituindo $ r = R/2 $:
r = R/2

Passo 6

Vamos calcular $ I_{enc} $:
Ienc
Ienc = 50 cdot pi (3 times 10^-32)^2 = 50 cdot pi cdot (1.5 times 10^-3)^2
= 50 cdot pi cdot 2.25 times 10^-6 approx 50 cdot 3.1416 cdot 2.25 times 10^-6

Passo 7

Agora, voltamos à equação da Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 Ienc
Isolando $ B $:
B
Substituindo os valores:
B = mu0 Ienc2pi r

Passo 8

Simplificando a expressão:
B = 4pi times 10^-7 cdot 3.5343 times 10^-43pi times 10^-3 = 4 times 3.5343 times 10^-113 times 10^-3
= 14.1372 times 10^-113 times 10^-3 = 4.7124 times 10^-8 , T

Resposta

O módulo do campo magnético a uma distância radial de $ r = R/2 $ é aproximadamente $ B = 4.7 \times 10^{-8} , T $.

Exercícios relacionados