A densidade de corrente \mathbf{J} no interior de um fio, cilíndrico infinito de raio a =4,0 \mathrm{~mm} é paralela ao eixo central é o módulo varia linearmente com a distância radial r de acordo com a equação \mathrm{J}=\mathrm{J}_{0} \mathrm{r} / \mathrm{a}, em que \mathrm{J}_{0}=400 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Determine o módulo do campo magnético para \mathrm{r}=\mathrm{a} / 2;

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico infinito de raio a=4{,}0\:\mathrm{mm} onde a densidade de corrente é axial e varia com o raio segundo
J(r)=J_{0}\,\frac{r}{a},
com J_{0}=400\:\mathrm{A/m^{2}}. Preciso achar o módulo do campo magnético \mathbf{B} a uma distância r=a/2 do eixo. O conteúdo principal aqui é a Lei de Ampère para campos magnéticos e o cálculo da corrente envolvida num caminho interno.

Passo 2

A Lei de Ampère diz que, para um caminho circular de raio r centrado no fio,
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\;\mu_{0}\,I_{\text{enc}}.
Como \mathbf{B} é tangencial e de módulo constante sobre o círculo, o lado esquerdo fica
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B(r)\,(2\pi r).

Passo 3

Agora calculamos a corrente envolvida I_{\text{enc}} dentro do raio r. Num elemento anelar de espessura dr' a corrente é J(r')\times\text{área}=J(r')\,2\pi r'\,dr'á. Portanto,
I_{\text{enc}} =\int_{0}^{r} J(r')\,2\pi r'\,dr' =\int_{0}^{r}\frac{J_{0}\,r'}{a}\,2\pi r'\,dr' =\frac{2\pi J_{0}}{a}\int_{0}^{r}r'^{2}dr' =\frac{2\pi J_{0}\,r^{3}}{3a}.

Passo 4

Substituindo em Ampère:
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\,\frac{2\pi J_{0}\,r^{3}}{3a} \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_{0}\,J_{0}\,r^{2}}{3a}.

Passo 5

Para r=\tfrac{a}{2} temos
B\!\bigl(\tfrac{a}{2}\bigr) =\frac{\mu_{0}\,J_{0}}{3a}\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2} =\frac{\mu_{0}\,J_{0}\,a}{12}.
Aqui \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\:\mathrm{H/m}, J_{0}=400\:\mathrm{A/m^{2}} e a=4{,}0\times10^{-3}\:\mathrm{m}.

Passo 6

Calculando numericamente:
B=\frac{4\pi\times10^{-7}\times400\times4{,}0\times10^{-3}}{12} \approx1{,}7\times10^{-7}\:\mathrm{T}.

Resposta

O módulo do campo magnético a r=a/2 vale aproximadamente
1{,}7\times10^{-7}\:\mathrm{T}.

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