A densidade de corrente \mathbf{J} no interior de um fio, cilíndrico infinito de raio a =4,0 \mathrm{~mm} é paralela ao eixo central é o módulo varia linearmente com a distância radial r de acordo com a equação \mathrm{J}=\mathrm{J}_{0} \mathrm{r} / \mathrm{a}, em que \mathrm{J}_{0}=400 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Determine o módulo do campo magnético para \mathrm{r}=\mathrm{a} .(2,0)\'

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico infinito de raio a=4{,}0\\ \mathrm{mm} em que a densidade de corrente interna é paralela ao eixo e cresce linearmente com a distância radial r segundo
J(r)=J_{0}\,\frac{r}{a},
sendo J_{0}=400\\ \mathrm{A/m^2}. Pede-se o módulo do campo magnético \boldsymbol{B} na superfície do fio, ou seja em r=a. Para isso vamos usar a Lei de Ampère na forma integral e calcular a corrente total que atravessa um círculo de raio r\le a.

Passo 2

Para um raio genérico r\le a, a corrente encerrada é
I_{\text{enc}}(r)=\int_{\text{área}}J(r')\,\mathrm{d}A =\int_{0}^{r}J_{0}\,\frac{r'}{a}\,\bigl(2\pi r'\,\mathrm{d}r'\bigr) =\frac{2\pi J_{0}}{a}\int_{0}^{r}r'^{2}\,\mathrm{d}r' =\frac{2\pi J_{0}}{a}\,\frac{r^{3}}{3} =\frac{2\pi J_{0}r^{3}}{3a}.á

Passo 3

Em particular, na superfície r=a a corrente total é
I_{\text{enc}}(a) =\frac{2\pi J_{0}a^{3}}{3a} =\frac{2\pi J_{0}a^{2}}{3}.

Passo 4

Pela Lei de Ampère (circuitação de \boldsymbol{B} em círculo de raio r), temos
\oint\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =B(r)\,(2\pi r) =\mu_{0}\,I_{\text{enc}}(r).
Para r=a resulta
B(a)\,2\pi a =\mu_{0}\,\frac{2\pi J_{0}a^{2}}{3} \quad\Longrightarrow\quad B(a) =\frac{\mu_{0}J_{0}a}{3}.

Passo 5

Substituindo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, J_{0}=400\\ \mathrm{A/m^2} e a=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
B(a) =\frac{4\pi\times10^{-7}\times400\times(4{,}0\times10^{-3})}{3} \approx6{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Resposta

O módulo do campo magnético na superfície do fio vale aproximadamente
B(a)\approx6{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

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