\mathbf{5}^{\circ} ) Questão ( 17,5 ptos, onde cada item vale 3,5 ptos). Resolva as seguintes edos com as substituições adequadas:
e^{y} y^{\prime}=x\left(x+e^{y}\right)-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e^{y}\,\frac{dy}{dx}=x\bigl(x+e^{y}\bigr)-1
e pede para resolver usando uma substituição adequada. Aqui vamos usar a técnica de escolher uma nova variável que simplifique a equação até uma forma separável.

Passo 2

Perceba que aparece repetidamente o termo x+e^{y}. Definimos
u = x + e^{y}.
Então
\frac{du}{dx} = 1 + e^{y}\,\frac{dy}{dx}.
Como e^{y}\,\frac{dy}{dx}=x\,(x+e^{y})-1 = x\,u -1, temos
\frac{du}{dx} = 1 + \bigl(x\,u -1\bigr) = x\,u.

Passo 3

A equação em u ficou
\frac{du}{dx} = x\,u,
que é separável. Escrevemos
\frac{1}{u}\,\frac{du}{dx} = x
e integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{1}{u}\,du = \int x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert u\rvert = \frac{x^{2}}{2} + C_{1}.

Passo 4

Exponenciando, obtemos
u = C\,e^{\tfrac{x^{2}}{2}},
onde renomeamos C=e^{C_{1}}. Voltando à substituição u=x+e^{y}, surge
x + e^{y} = C\,e^{\tfrac{x^{2}}{2}} \quad\Longrightarrow\quad e^{y} = C\,e^{\tfrac{x^{2}}{2}} - x.

Passo 5

Finalmente, isolamos y por meio do logaritmo natural:
y = \ln\bigl(C\,e^{\tfrac{x^{2}}{2}} - x\bigr).

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{y(x) = \ln\bigl(C\,e^{\tfrac{x^{2}}{2}} - x\bigr),}
com C constante arbitrária.

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