Função exponencial de relaxação
A equação de movimento de um corpo é
[SI]. Determinar
a)
e
.
b) A posição, velocidade e aceleração da particula no instante em que
.
a)
b) A posição, velocidade e aceleração da particula no instante em que
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo:
(dado em unidades SI). Pede:
- a) as funções velocidade
e aceleração ; - b) os valores de
, e no instante .
Informações relevantes que temos:
-
está explícita em termos de e do parâmetro ; -
é um tempo característico (tem dimensão de tempo, ou seja, segundos); - não foi dado um valor numérico para
, então as respostas ficarão em função de ; - unidades:
em metros, em metros por segundo e em metros por segundo ao quadrado.
Passo 2
Vamos lembrar as regras de diferenciação que vamos usar (aulas mastigadas):
- Derivada de uma constante é zero. Ou seja, se
é constante, então . - Derivada da exponencial composta (regra da cadeia): se
, então
Isto significa: primeiro derivamos o expoente
(isso dá
) e depois multiplicamos pelo próprio
.
- Um exemplo simples: se
com constante, então .
Vamos aplicar essas regras à função dada. Uma boa técnica é reescrever
expandindo os termos para facilitar a diferenciação.
Passo 3
Reescrevendo
para separar termos constantes e exponenciais:
Agora calculamos a velocidade
. Derivamos termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
: é constante multiplicando a exponencial, então sai fator e aplicamos a regra da cadeia à exponencial . O expoente é , cuja derivada é .
Portanto:
Observação de unidades: como
está em metros e
em segundos,
tem unidades de
.
Passo 4
Agora calculamos a aceleração
. Temos
Aqui
é uma constante (em relação a
), então aplicamos novamente a regra da cadeia à exponencial
cuja derivada já sabemos ser
. Logo:
Unidades:
.
Comentário físico rápido (para fixar): tanto
quanto
têm um fator exponencial
que decai para zero quando
cresce; isso significa que a partícula se aproxima assintoticamente de
metros, com velocidade e aceleração tendendo a zero. A aceleração é negativa para
, indicando que a partícula está desacelerando ao se aproximar do valor limite.
Passo 5
Agora avaliamos as expressões no instante
. Como não foi dado valor numérico para
, mantemos as respostas em função de
.
Substituindo
em cada fórmula:
Observação final: se em prova lhe der um valor numérico para
, basta substituir esse valor em
nas expressões acima e calcular. Se precisar fazer sem calculadora, lembre-se de propriedades do exponencial (por exemplo, para
muito menor que
o exponencial é praticamente zero; para
muito maior que
o exponencial fica próximo de 1) — isso ajuda a estimar ordens de grandeza.
Resposta
a)
b)