Função exponencial de relaxação
A equação de movimento de um corpo é
x(t)=10\left(1-e^{\wedge}(-t / \tau)\right) [SI]. Determinar
a) v(t) e a(t).
b) A posição, velocidade e aceleração da particula no instante em que \mathrm{t}=10 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo:
x(t)=10\left(1-e^{-t/\tau}\right)
(dado em unidades SI). Pede:
  • a) as funções velocidade v(t) e aceleração a(t);
  • b) os valores de x, v e a no instante t=10\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes que temos:
  • x(t) está explícita em termos de t e do parâmetro \tau;
  • \tau é um tempo característico (tem dimensão de tempo, ou seja, segundos);
  • não foi dado um valor numérico para \tau, então as respostas ficarão em função de \tau;
  • unidades: x em metros, v em metros por segundo e a em metros por segundo ao quadrado.

Passo 2

Vamos lembrar as regras de diferenciação que vamos usar (aulas mastigadas):
  • Derivada de uma constante é zero. Ou seja, se C é constante, então \dfrac{d}{dt}C=0.
  • Derivada da exponencial composta (regra da cadeia): se f(t)=e^{u(t)}, então
f'(t)=u'(t)\,e^{u(t)}.
Isto significa: primeiro derivamos o expoente u(t) (isso dá u'(t)) e depois multiplicamos pelo próprio e^{u(t)}.
  • Um exemplo simples: se u(t)=k t com k constante, então \dfrac{d}{dt}e^{kt}=k e^{kt}.
Vamos aplicar essas regras à função dada. Uma boa técnica é reescrever x(t) expandindo os termos para facilitar a diferenciação.

Passo 3

Reescrevendo x(t) para separar termos constantes e exponenciais:
x(t)=10 - 10 e^{-t/\tau}.
Agora calculamos a velocidade v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Derivamos termo a termo:
  • Derivada de 10 é 0.
  • Derivada de -10 e^{-t/\tau}: -10 é constante multiplicando a exponencial, então sai fator -10 e aplicamos a regra da cadeia à exponencial e^{-t/\tau}. O expoente é u(t)=-\dfrac{t}{\tau}, cuja derivada é u'(t)=-\dfrac{1}{\tau}.
Portanto:
v(t)=\frac{dx}{dt} = -10\cdot\left(-\frac{1}{\tau}\right)e^{-t/\tau} = \frac{10}{\tau}\,e^{-t/\tau}.
Observação de unidades: como x está em metros e t em segundos, v(t) tem unidades de \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora calculamos a aceleração a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Temos
v(t)=\frac{10}{\tau}\,e^{-t/\tau}.
Aqui \dfrac{10}{\tau} é uma constante (em relação a t), então aplicamos novamente a regra da cadeia à exponencial e^{-t/\tau} cuja derivada já sabemos ser -\dfrac{1}{\tau} e^{-t/\tau}. Logo:
a(t)=\frac{dv}{dt} = \frac{10}{\tau}\cdot\left(-\frac{1}{\tau}\right)e^{-t/\tau} = -\frac{10}{\tau^{2}}\,e^{-t/\tau}.
Unidades: \mathrm{m/s^{2}}.
Comentário físico rápido (para fixar): tanto v(t) quanto a(t) têm um fator exponencial e^{-t/\tau} que decai para zero quando t cresce; isso significa que a partícula se aproxima assintoticamente de x=10 metros, com velocidade e aceleração tendendo a zero. A aceleração é negativa para t>0, indicando que a partícula está desacelerando ao se aproximar do valor limite.

Passo 5

Agora avaliamos as expressões no instante t=10\\ \mathrm{s}. Como não foi dado valor numérico para \tau, mantemos as respostas em função de \tau.
Substituindo t=10 em cada fórmula:
x(10)=10\left(1-e^{-10/\tau}\right),
v(10)=\frac{10}{\tau}\,e^{-10/\tau},
a(10)=-\frac{10}{\tau^{2}}\,e^{-10/\tau}.
Observação final: se em prova lhe der um valor numérico para \tau, basta substituir esse valor em \tau nas expressões acima e calcular. Se precisar fazer sem calculadora, lembre-se de propriedades do exponencial (por exemplo, para \tau muito menor que 10 o exponencial é praticamente zero; para \tau muito maior que 10 o exponencial fica próximo de 1) — isso ajuda a estimar ordens de grandeza.

Resposta

a) v(t)=\dfrac{10}{\tau}\,e^{-t/\tau},\quad a(t)=-\dfrac{10}{\tau^{2}}\,e^{-t/\tau}
b) x(10)=10\left(1-e^{-10/\tau}\right),\quad v(10)=\dfrac{10}{\tau}\,e^{-10/\tau},\quad a(10)=-\dfrac{10}{\tau^{2}}\,e^{-10/\tau}

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