Densidade de estados. (a) Usando o Teorema de mudança de variáveis, calcule o determinate da matriz Jacobiana e efetue o cálculo de . Obs.: Em Física Estatística, é usada para obter a entropia termodinâmica e também a densidade de estados, definida por .
Passo 1
Beleza, o enunciado tá dizendo que a gente precisa usar o Teorema de mudança de variáveis para achar o determinante da Jacobiana e, em seguida, calcular
que é o “volume” de fase acessível até energia . Isso faz parte de Física Estatística, quando a gente quer a entropia ou a densidade de estados .
Então o conteúdo aqui é:
Reconhecer que, para um gás clássico de partículas (massa ) em 3D, a energia cinética é
Mudar as variáveis cartesianas para coordenadas esféricas em dimensões.
Calcular o determinante da Jacobiana dessa transformação.
Integrar no delta pra obter .
Passo 2
Vamos focar só na parte dos momentos . Definimos
e trocamos . Em dimensões a diferencial de volume é
O determinante da Jacobiana (ou “fator de escala”) é justamente
A parte angular integra pra área da esfera em dimensões, que chamamos de . Sabemos que
Passo 3
Agora integral d^3Np;de (sem contar fatores de r^3N-1dr = (2m)^3N-12;u^3N-12;m,dur = (2m)^3N2;u^3N-22,du, e Omegap(E) = S3N(1),(2m)^3N2;E^3N-22, , que a gente põe no final) é
Use mudança . Então
Inserindo no delta e integrando em dá
Como o potencial não depende dos momentos, a parte das coordenadas espaciais só dá um fator . E precisamos do fator quântico .