Densidade de estados. (a) Usando o Teorema de mudança de variáveis, calcule o determinate da matriz Jacobiana e efetue o cálculo de Omega. Obs.: Em Física Estatística, Omega é usada para obter a entropia termodinâmica e também a densidade de estados, definida por partial Omega / partial E.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá dizendo que a gente precisa usar o Teorema de mudança de variáveis para achar o determinante da Jacobiana e, em seguida, calcular
Omega(E);,
que é o “volume” de fase acessível até energia H( p)=sumi=1^3Npi^22m, . Isso faz parte de Física Estatística, quando a gente quer a entropia ou a densidade de estados .
Então o conteúdo aqui é:
  1. Reconhecer que, para um gás clássico de partículas (massa ) em 3D, a energia cinética é
  2. Mudar as variáveis cartesianas para coordenadas esféricas em dimensões.
  3. Calcular o determinante da Jacobiana dessa transformação.
  4. Integrar no delta pra obter .

Passo 2

Vamos focar só na parte dos momentos r ;=;raizp1^2+cdots+p3N^2,, . Definimos
d^3Np = r^3N-1;dr;l(prodk=1^3N-1sin^3N-1-k!thetak,dthetakr),
e trocamos l|det Jr| = r^3N-1,prodk=1^3N-1sin^3N-1-k!thetak, . Em Sn(1)=2pi^n/2Gammal(n/2r)Longrightarrow S3N(R)=S3N(1),R^3N-1, dimensões a diferencial de volume é
O determinante da Jacobiana (ou “fator de escala”) é justamente
A parte angular integra pra área da esfera em dimensões, que chamamos de . Sabemos que

Passo 3

Agora integral d^3Np;de (sem contar fatores de r^3N-1dr = (2m)^3N-12;u^3N-12;m,dur = (2m)^3N2;u^3N-22,du, e Omegap(E) = S3N(1),(2m)^3N2;E^3N-22, , que a gente põe no final) é
Use mudança . Então
Inserindo no delta e integrando em
Como o potencial não depende dos momentos, a parte das coordenadas espaciais só dá um fator . E precisamos do fator quântico .

Resposta

boxed Omega(E);=;V^Nh^3NN!; 2pi^3N2Gamma!l(tfrac3N2r), (2m)^3N2;E^3N-22 ,

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