Elementos de comprimento em coordenvidas curvilíneas. (a) Utilizando a representação adequada do elemento de comprimento d r, obtenha o comprimento L de uma curva helicoidal qualquer a partir da integral de linha,
L=integralC v cdot d r,
em que v é o vetor tangente à curva mencionada.

Passo 1

Beleza, vamos achar o comprimento de uma hélice qualquer usando a integral de linha
Conteúdo: geometria diferencial (elemento de comprimento em coordenadas curvilíneas) e integral de linha.
O que vamos precisar:
  1. parametrizar a hélice como
  2. calcular
  3. montar o vetor tangente unitário
  4. usar e integrar

Passo 2

Parametrização da hélice. Uma hélice genérica com raio r(t) = l(acos t,;asin t,;b,tr), tin[t1,t2] e passo vertical proporcional a pode ser escrita assim:
Aqui e são constantes que definem a forma da hélice.

Passo 3

Calcular d rdt =l(-asin t,;acos t,;br) . Primeiro derivamos componente a componente em relação a d r = d rdt,dt =l(-asin t,;acos t,;br),dt :
Então

Passo 4

Montar o vetor tangente unitário v= r'lVert r'rVert com r'=d rdt .
Ele é dado por
llVert r'rrVert =raiz(-asin t)^2+(acos t)^2+b^2 =raiza^2sin^2t+a^2cos^2t+b^2 =raiza^2+b^2
A norma de é

Passo 5

Agora a integral de linha para o comprimento é
L=integralC vcdot d r =integralt1^t2 r'| r'|cdot r',dt =integralt1^t2| r'|^2| r'|,dt =integralt1^t2| r'|,dt
Como L=integralt1^t2raiza^2+b^2,dt =raiza^2+b^2,l(t2-t1r) é constante, fica

Resposta

boxedL=raiza^2+b^2,l(t2 - t1r)

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