Elementos de comprimento em coordenvidas curvilíneas. (a) Utilizando a representação adequada do elemento de comprimento , obtenha o comprimento de uma curva helicoidal qualquer a partir da integral de linha,
em que é o vetor tangente à curva mencionada.
Passo 1
Beleza, vamos achar o comprimento de uma hélice qualquer usando a integral de linha
Conteúdo: geometria diferencial (elemento de comprimento em coordenadas curvilíneas) e integral de linha.
O que vamos precisar:
parametrizar a hélice como
calcular
montar o vetor tangente unitário
usar e integrar
Passo 2
Parametrização da hélice. Uma hélice genérica com raio e passo vertical proporcional a pode ser escrita assim:
Aqui e são constantes que definem a forma da hélice.
Passo 3
Calcular . Primeiro derivamos componente a componente em relação a :
Então
Passo 4
Montar o vetor tangente unitário .
Ele é dado por
A norma de é
Passo 5
Agora a integral de linha para o comprimento é
L=integralC vcdot d r =integralt1^t2 r'| r'|cdot r',dt =integralt1^t2| r'|^2| r'|,dt =integralt1^t2| r'|,dt
Como L=integralt1^t2raiza^2+b^2,dt =raiza^2+b^2,l(t2-t1r) é constante, fica