D=lim t / tauR infty lang<= x^2(t)rang<=2 t=lim t / tauR infty 12 t integral0^t d t1 integral0^t d t2lang<= v(t1) v(t2)rang<=
Como lang<= v(t1) v(t2)rang<==f(t1, t2) (chamada de função de auto-correlação da velocidade) é par pela troca t1 <=ftarrows t2, isto é, f(t1, t2)=f(t2, t1), mostre que
integral0^t d t1 integral0^t d t2 f(t1, t2)=2 integral0^t d t1 integral0^t1 d t2 f(t1, t2),
que é um passo importante no cálculo de D. Dica: escreva a integral em t2 em uma integral de 0 a t1 mais outra de t1 a t e analise a região de integração.

Passo 1

Blza, aqui a gente tem que provar que, para uma função de autocorrelação integral0^t!dt1integral0^t!dt2;f(t1,t2) ;=; 2integral0^t!dt1integral0^t1!dt2;f(t1,t2) que é simétrica ( ), vale
Conteúdo: cálculo de integrais duplas e uso de simetria da região de integração. O que vamos usar:
  1. divisão da região em duas (onde e );
  2. troca de variáveis usando .

Passo 2

Começamos escrevendo
I ;=;integral0^t dt1integral0^t dt2;f(t1,t2) ;=;integral0^t dt1l[integral0^t1dt2,f(t1,t2);+;integralt1^tdt2,f(t1,t2)r]
Aqui a gente só quebrou em , correspondendo às duas metades do quadrado.

Passo 3

Agora foca na segunda parte:
integral0^t dt1integralt1^tdt2,f(t1,t2)
Como integral0^t dt1integralt1^tdt2,f(t1,t2) =integral0^t dt2integral0^t2dt1,f(t2,t1) =integral0^t dt1integral0^t1dt2,f(t1,t2) é simétrica, podemos trocar . Fazendo isso e trocando nomes de variáveis (chamamos e ), observamos que
Ou seja, a segunda integral dá exatamente a mesma coisa que a primeira!

Resposta

Juntando tudo,
I =integral0^t!dt1!integral0^t1!dt2,f(t1,t2) ;+;integral0^t!dt1!integral0^t1!dt2,f(t1,t2) =2integral0^t!dt1!integral0^t1!dt2,f(t1,t2)
E é isso que queríamos mostrar!

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