Como
(chamada de função de auto-correlação da velocidade) é par pela troca
, isto é,
, mostre que
que é um passo importante no cálculo de
. Dica: escreva a integral em
em uma integral de 0 a
mais outra de
a
e analise a região de integração.
Passo 1
Blza, aqui a gente tem que provar que, para uma função de autocorrelação
que é simétrica (
), vale
Conteúdo: cálculo de integrais duplas e uso de simetria da região de integração. O que vamos usar:
- divisão da região
em duas (onde e ); - troca de variáveis usando
.
Passo 2
Começamos escrevendo
Aqui a gente só quebrou
em
, correspondendo às duas metades do quadrado.
Passo 3
Agora foca na segunda parte:
Como
é simétrica, podemos trocar
. Fazendo isso e trocando nomes de variáveis (chamamos
e
), observamos que
Ou seja, a segunda integral dá exatamente a mesma coisa que a primeira!
Resposta
Juntando tudo,
E é isso que queríamos mostrar!