A densidade linear de um arame é dado pela função
. Calcule a massa desse arame, sabendo que ele é obtido pela interseção da esfera
com o plano
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um arame com densidade linear dada por $ f(x, y) = x y $. Esse arame é formado pela interseção da esfera $ x{2}+y{2}+z^{2}=4 $ com o plano $ x+z=2 $, e consideramos apenas os pontos onde $ y \geq 0 $. Nosso objetivo é calcular a massa desse arame. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo, especificamente integrais de linha para determinar a massa ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da curva de interseção entre a esfera $ x{2}+y{2}+z^{2}=4 $ e o plano $ x+z=2 $. Como temos $ x + z = 2 $, podemos expressar $ z = 2 - x $ e substituir na equação da esfera:
Passo 3
Expandindo o termo $ (2 - x)^{2} $:
Simplificando:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Passo 4
Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Completando o quadrado para o termo de $ x $:
Isso fica:
Passo 5
Agora, identificamos que essa é a equação de uma elipse no plano $ y \geq 0 $. Para parametrizar essa curva, podemos usar um parâmetro $ \theta $ que varia de 0 a $ \pi $ (já que $ y \geq 0 $):
Passo 6
Agora, precisamos encontrar $ ds $, o elemento de arco para a integral. Calculamos as derivadas das parametrizações em relação a $ \theta $:
O elemento de arco $ ds $ é dado por:
Substituindo:
Passo 7
A massa $ M $ do arame é dada pela integral da densidade linear ao longo da curva:
Substituindo $ f(x, y) = x y $ e as parametrizações:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Separando as integrais:
A primeira integral:
Avaliada de 0 a $ \pi $:
A segunda integral usamos substituição $ u = \cos \theta $, $ du = -\sin \theta d\theta $:
Avaliada de 0 a $ \pi $:
Resposta
Portanto, a massa do arame é: