A densidade linear de um arame é dado pela função f(x, y)=x y. Calcule a massa desse arame, sabendo que ele é obtido pela interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano x+z=2 e y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um arame com densidade linear dada por $ f(x, y) = x y $. Esse arame é formado pela interseção da esfera $ x{2}+y{2}+z^{2}=4 $ com o plano $ x+z=2 $, e consideramos apenas os pontos onde $ y \geq 0 $. Nosso objetivo é calcular a massa desse arame. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo, especificamente integrais de linha para determinar a massa ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva de interseção entre a esfera $ x{2}+y{2}+z^{2}=4 $ e o plano $ x+z=2 $. Como temos $ x + z = 2 $, podemos expressar $ z = 2 - x $ e substituir na equação da esfera:
x^2+y^2+z^2=4

Passo 3

Expandindo o termo $ (2 - x)^{2} $:
(2 - x)^2
Simplificando:
x^2 + y^2 + 4 - 4x + x^2 = 4
Subtraindo 4 de ambos os lados:
2x^2 - 4x + y^2 + 4 = 4

Passo 4

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
x^2 - 2x + y^22 = 0
Completando o quadrado para o termo de $ x $:
x
Isso fica:
(x^2 - 2x + 1) + y^22 = 1

Passo 5

Agora, identificamos que essa é a equação de uma elipse no plano $ y \geq 0 $. Para parametrizar essa curva, podemos usar um parâmetro $ \theta $ que varia de 0 a $ \pi $ (já que $ y \geq 0 $):
y >= 0
theta
pi

Passo 6

Agora, precisamos encontrar $ ds $, o elemento de arco para a integral. Calculamos as derivadas das parametrizações em relação a $ \theta $:
ds
theta
dxdtheta = -sin theta
O elemento de arco $ ds $ é dado por:
dydtheta = raiz2 cos theta
Substituindo:
dzdtheta = sin theta

Passo 7

A massa $ M $ do arame é dada pela integral da densidade linear ao longo da curva:
M
Substituindo $ f(x, y) = x y $ e as parametrizações:
M = integral f(x, y) , ds

Passo 8

Vamos calcular a integral:
M = 2 integral0^pi (sin theta + sin theta cos theta) , dtheta
Separando as integrais:
M = 2 ( integral0^pi sin theta , dtheta + integral0^pi sin theta cos theta , dtheta )
A primeira integral:
integral sin theta , dtheta = -cos theta
Avaliada de 0 a $ \pi $:
pi
A segunda integral usamos substituição $ u = \cos \theta $, $ du = -\sin \theta d\theta $:
- cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 2
Avaliada de 0 a $ \pi $:
u = cos theta

Resposta

Portanto, a massa do arame é:
M = 2 times 2 = 4

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