Resolver a EDO dada mediante uma série de potências em torno de ponto x0=0 (considerando a0=1, a1=0 )
y^prime prime-32 x y^prime+32 y=0

Passo 1

Temos a EDO y'' - tfrac32,x,y' + tfrac32,y = 0. O conteúdo é método de série de potências em torno de x0=0. Vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências y(x)=sumn=0^inftyanx^n e determinar os coeficientes an.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
logo as derivadas são
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituindo na EDO:
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n - tfrac32,xsumn=0^infty(n+1)an+1x^n + tfrac32sumn=0^inftyanx^n = 0
Reindexando o segundo termo para coincidir com x^n (isto é, xsumn=0 (n+1)an+1x^n=sumn=1n,anx^n) e agrupando potências de x^n, obtemos uma relação de recorrência.

Passo 4

Para n=0 o coeficiente de x^0
2,a2 + tfrac32,a0 = 0 Longrightarrow a2 = -tfrac34
Para n>=1 igualamos o coeficiente de x^n:
(n+2)(n+1)an+2 + tfrac32(1-n)an = 0
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an+2 = tfrac32(n-1)(n+2)(n+1),an = 3(n-1)2(n+2)(n+1),an
Como a1=0, todos os an com índice ímpar também são nulos.

Passo 5

Calculamos alguns termos pares:
a0=1, a2=-tfrac34, a4=3(2-1)2cdot4cdot3a2=-tfrac332, a6=3(4-1)2cdot6cdot5a4=-tfrac9640, dots
Portanto a solução fica
y(x)=sumk=0^inftya2kx^2k=1-tfrac34x^2-tfrac332x^4-tfrac9640x^6+cdots

Resposta

y(x) = 1 - \frac{3}{4}x^2 - \frac{3}{32}x^4 - \frac{9}{640}x^6 + \cdots

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