Resolver a EDO mediante uma série de potências em torno de ponto x0=0 (considerando a0=1, a1=0 )
y^prime prime-2 y^prime+y=0

Passo 1

A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, mas vamos resolvê-la por série de potências em torno de 0. Vamos escrever y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^n; sabemos que a_0=1 e a_1=0.

Passo 2

Para usar série de potências, precisamos das derivadas:
y'(x)=sumn=1^∞ n,an,x^n-1=sumn=0^∞ (n+1)an+1 x^n,
y''(x)=sumn=0^∞ (n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituindo em y’‘−2y’+y=0, obtemos
(n+2)(n+1)an+2-2(n+1)an+1+an=0,
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an+2=2(n+1)an+1-an(n+2)(n+1)

Passo 4

Agora usamos a_0=1 e a_1=0 para gerar alguns termos:
n=0: a2=2·1·0−12·1=-tfrac12;
n=1: a3=2·2·a2−a13·2=4(-1/2)−06=-tfrac13;
n=2: a4=2·3·a3−a24·3=6(-1/3)-(-1/2)12=-tfrac18;
e assim por diante.

Passo 5

Observando os coeficientes, percebemos o padrão
an=1-nn!(n>=1), a0=1
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y(x)=sumn=0^∞anx^n=sumn=0^∞1-nn!x^n

Passo 6

Alternativamente, reconhecemos a série de e^x e x e^x:
y(x)=e^x-xe^x

Resposta

y(x)=sumn=0^infty1-nn!x^n= e^x - x e^x

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