Resolver a EDO mediante uma série de potências em torno de ponto
(considerando
)
Passo 1
A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, mas vamos resolvê-la por série de potências em torno de 0. Vamos escrever y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^n; sabemos que a_0=1 e a_1=0.
Passo 2
Para usar série de potências, precisamos das derivadas:
Passo 3
Substituindo em y’‘−2y’+y=0, obtemos
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Passo 4
Agora usamos a_0=1 e a_1=0 para gerar alguns termos:
n=0:
n=1:
n=2:
e assim por diante.
e assim por diante.
Passo 5
Observando os coeficientes, percebemos o padrão
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Passo 6
Alternativamente, reconhecemos a série de e^x e x e^x: