Determinar o raio de convergencia da série de potências
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série de potências:
. Nosso objetivo é descobrir até onde essa série “funciona”, ou seja, encontrar o raio de convergência dela. Para fazer isso, vamos precisar entender sobre séries de potências, critérios de convergência como o critério da raiz, e aplicar essas ferramentas para encontrar o valor do raio.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples. Se a gente deixar
, a série fica:
. Agora, sabemos que o raio de convergência de uma série de potências geral
pode ser encontrado usando o critério da raiz.
Passo 3
Vamos usar o critério da raiz, que diz que o raio de convergência
é dado por:
.
No nosso caso,
, então:
.
Passo 4
Agora, vamos calcular esse limite:
.
Sabemos que
tende a 1 quando
tende ao infinito, então
também tende a 1.
Portanto, o limite é:
.
Passo 5
Agora que temos:
.
Isso significa que a série converge quando
, ou seja, quando
.
Passo 6
Vamos resolver a inequação
para encontrar os valores de
onde a série converge:
Subtraindo 1 em todos os lados:
Dividindo por 2:
Resposta
O raio de convergência da série é
.