Determinar o raio de convergencia da série de potências
sumn=0^infty (2 x+1)^nn^2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série de potências: sumn=0^infty (2 x+1)^nn^2. Nosso objetivo é descobrir até onde essa série “funciona”, ou seja, encontrar o raio de convergência dela. Para fazer isso, vamos precisar entender sobre séries de potências, critérios de convergência como o critério da raiz, e aplicar essas ferramentas para encontrar o valor do raio.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples. Se a gente deixar u = 2x + 1, a série fica: sumn=0^infty u^nn^2. Agora, sabemos que o raio de convergência de uma série de potências geral sumn=0^infty an u^n pode ser encontrado usando o critério da raiz.

Passo 3

Vamos usar o critério da raiz, que diz que o raio de convergência R é dado por: R = 1limsupn to infty raiz[n]|an| .
No nosso caso, an = 1n^2, então: limsupn to infty raiz[n]1n^2 = limn to infty ( 1n^2 )^1/n = limn to infty 1n^2/n .

Passo 4

Agora, vamos calcular esse limite: limn to infty 1n^2/n .
Sabemos que n^1/n tende a 1 quando n tende ao infinito, então n^2/n = (n^1/n)^2 também tende a 1.
Portanto, o limite é: limn to infty 1n^2/n = 11 = 1 .

Passo 5

Agora que temos: R = 11 = 1 .
Isso significa que a série converge quando |u| < 1, ou seja, quando |2x + 1| < 1.

Passo 6

Vamos resolver a inequação |2x + 1| < 1 para encontrar os valores de x onde a série converge:
-1 < 2x + 1 < 1 .
Subtraindo 1 em todos os lados:
-2 < 2x < 0 .
Dividindo por 2:
-1 < x < 0 .

Resposta

O raio de convergência da série é R = 1.

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