A densidade linear de uma barra de 8 m de comprimento é 12 / \sqrt{x+1} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}, onde x é medido em metros a partir da ponta da barra. Encontre a densidade média da barra.

Passo 1

O enunciado dá uma barra de comprimento 8 m e informa que a densidade linear (massa por unidade de comprimento) em função da posição x é
\lambda(x)=\frac{12}{\sqrt{x+1}}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m},
onde x está em metros medidos a partir de uma ponta da barra, isto é, x varia de 0 até 8. A pergunta é: qual é a densidade média da barra?

Passo 2

Vamos traduzir claramente o que pedem. “Densidade média” da barra significa a média da função de densidade linear \lambda(x) ao longo do intervalo de comprimento da barra [0,8]. Em termos práticos, precisamos calcular o valor médio da função \lambda(x) nesse intervalo.

Passo 3

Regra que vamos usar (explicada): para uma função contínua f(x) num intervalo [a,b], o valor médio de f nesse intervalo é
\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
No nosso caso, f(x)=\lambda(x), a=0 e b=8. Outra coisa importante: a massa total M da barra é dada pela integral da densidade linear sobre o comprimento,
M=\int_{0}^{8}\lambda(x)\,dx.
A densidade média pode ser obtida como \bar{\lambda}=\dfrac{M}{8}, que é equivalente à fórmula do valor médio acima.

Passo 4

Montamos a integral para a massa total:
M=\int_{0}^{8}\frac{12}{\sqrt{x+1}}\,dx.
Reescrevendo em potência, \dfrac{12}{\sqrt{x+1}}=12(x+1)^{-1/2}. Vamos integrar termo a termo usando a regra de potência: para n\neq -1,
\int (x+1)^{n}\,dx=\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{1}{2} e dividir por n+1 equivale a multiplicar por 2.

Passo 5

Calculando a primitiva:
\int 12(x+1)^{-1/2}\,dx = 12\cdot \frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} = 12\cdot 2\,(x+1)^{1/2}=24\sqrt{x+1}.
Agora aplicamos os limites de 0 a 8:
M = \Big[24\sqrt{x+1}\Big]_{0}^{8} = 24\big(\sqrt{8+1}-\sqrt{0+1}\big)=24(3-1)=24\cdot 2=48.
Portanto a massa total da barra é M=48 (unidade: \mathrm{kg}, pois integrámos \mathrm{kg}/\mathrm{m} em m).

Passo 6

Calculamos a densidade média usando \bar{\lambda}=\dfrac{M}{8}:
\bar{\lambda}=\frac{48}{8}=6.
A unidade é a mesma da densidade linear: \mathrm{kg}/\mathrm{m}. Logo a densidade média é 6\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}.

Resposta

6\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}

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