A densidade linear de uma barra de 8 m de comprimento é
, onde
é medido em metros a partir da ponta da barra. Encontre a densidade média da barra.
Passo 1
O enunciado dá uma barra de comprimento
m e informa que a densidade linear (massa por unidade de comprimento) em função da posição
é
onde
está em metros medidos a partir de uma ponta da barra, isto é,
varia de
até
. A pergunta é: qual é a densidade média da barra?
Passo 2
Vamos traduzir claramente o que pedem. “Densidade média” da barra significa a média da função de densidade linear
ao longo do intervalo de comprimento da barra
. Em termos práticos, precisamos calcular o valor médio da função
nesse intervalo.
Passo 3
Regra que vamos usar (explicada): para uma função contínua
num intervalo
, o valor médio de
nesse intervalo é
No nosso caso,
,
e
. Outra coisa importante: a massa total
da barra é dada pela integral da densidade linear sobre o comprimento,
A densidade média pode ser obtida como
, que é equivalente à fórmula do valor médio acima.
Passo 4
Montamos a integral para a massa total:
Reescrevendo em potência,
. Vamos integrar termo a termo usando a regra de potência: para
,
Aqui
, então
e dividir por
equivale a multiplicar por
.
Passo 5
Calculando a primitiva:
Agora aplicamos os limites de
a
:
Portanto a massa total da barra é
(unidade:
, pois integrámos
em
).
Passo 6
Calculamos a densidade média usando
:
A unidade é a mesma da densidade linear:
. Logo a densidade média é
.