Determine a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O problema pede a derivada da função
Informações dadas:
- A integranda é
. - O limite inferior da integral é a função
. - O limite superior da integral é a função
. - Precisamos calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos lembrar uma regra que vai salvar tempo na prova: se
e
depende só de
(não depende explicitamente de
), então podemos escrever uma primitiva
de
, ou seja
, e obter
Diferenciando com a regra da cadeia (chain rule) obtemos
Como
, isso se torna
Essa é a fórmula que usaremos (às vezes chamada de regra de Leibniz para limites dependentes de
).
Passo 3
Identificamos na nossa função:
Vamos aplicar diretamente a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Calculamos as derivadas dos limites:
- A derivada de
é
Explicação rápida: a derivada de
é
pela regra padrão das funções trigonométricas.
- A derivada de
é
Explicação: a derivada de
é
, então a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicando a fórmula
e substituindo:
Essa é já uma forma correta da derivada, com a substituição direta na fórmula.
Passo 6
Podemos simplificar observando que
, então a integranda avaliada em
é igual à mesma avaliada em
. Assim
Portanto a expressão final simplificada fica