Determine a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{-\cos (x)}^{\sin (x)} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} d t

Passo 1

O problema pede a derivada da função
g(x)=\int_{-\cos(x)}^{\sin(x)} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\,dt.
Informações dadas:
  • A integranda é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}.
  • O limite inferior da integral é a função \displaystyle a(x)=-\cos(x).
  • O limite superior da integral é a função \displaystyle b(x)=\sin(x).
  • Precisamos calcular g'(x), a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra que vai salvar tempo na prova: se
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt
e f depende só de t (não depende explicitamente de x), então podemos escrever uma primitiva F de f, ou seja F'(t)=f(t), e obter
G(x)=F(b(x))-F(a(x)).
Diferenciando com a regra da cadeia (chain rule) obtemos
G'(x)=F'(b(x))\,b'(x)-F'(a(x))\,a'(x).
Como F'=f, isso se torna
G'(x)=f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x).
Essa é a fórmula que usaremos (às vezes chamada de regra de Leibniz para limites dependentes de x).

Passo 3

Identificamos na nossa função:
f(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}},\qquad a(x)=-\cos(x),\qquad b(x)=\sin(x).
Vamos aplicar diretamente a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Calculamos as derivadas dos limites:
  • A derivada de b(x)=\sin(x) é
b'(x)=\cos(x).
Explicação rápida: a derivada de \sin(x) é \cos(x) pela regra padrão das funções trigonométricas.
  • A derivada de a(x)=-\cos(x) é
a'(x)=\sin(x).
Explicação: a derivada de \cos(x) é -\sin(x), então a derivada de -\cos(x) é -1\cdot(-\sin(x))=\sin(x).

Passo 5

Aplicando a fórmula g'(x)=f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x) e substituindo:
g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+(\sin(x))^{2}}}\cdot\cos(x)\;-\;\frac{1}{\sqrt{1+(-\cos(x))^{2}}}\cdot\sin(x).
Essa é já uma forma correta da derivada, com a substituição direta na fórmula.

Passo 6

Podemos simplificar observando que (- \cos(x))^{2}=\cos^{2}(x), então a integranda avaliada em -\cos(x) é igual à mesma avaliada em \cos(x). Assim
\frac{1}{\sqrt{1+(-\cos(x))^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\cos^{2}(x)}}.
Portanto a expressão final simplificada fica
g'(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{1+\sin^{2}(x)}}-\frac{\sin(x)}{\sqrt{1+\cos^{2}(x)}}.

Resposta

g'(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{1+\sin^{2}(x)}}-\frac{\sin(x)}{\sqrt{1+\cos^{2}(x)}}

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