Em uma certa cidade a temperatura ( \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C} ) t horas depois das 9 horas foi aproximada pela função
T(t)=20+6 \sin \left(\frac{\pi t}{12}\right)
Calcule a temperatura média durante o período entre 9 h e 21 h .
Passo 1
O enunciado dá a função temperatura (em graus Celsius) t horas depois das 9 h:
T(t)=20+6\sin\!\left(\frac{\pi t}{12}\right)
Pergunta: calcular a temperatura média durante o período entre 9 h e 21 h.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{intervalo de tempo: das 9 h às 21 h} \Rightarrow t\in[0,12],
pois t é o número de horas após as 9 h. A função T(t) está definida para t nesse intervalo.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática):
A temperatura média de uma função contínua T(t) num intervalo [a,b] é dada pela média aritmética contínua, que corresponde à integral da função dividida pelo comprimento do intervalo. A fórmula é
\overline{T}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} T(t)\,dt.
Aqui \overline{T} é a temperatura média, a e b são os extremos do intervalo de tempo, e \int_{a}^{b} T(t)\,dt é a área sob a curva T(t) entre a e b. Intuitivamente, somamos todas as temperaturas (no sentido contínuo) e dividimos pelo tempo total.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema: a=0 e b=12. Montamos a integral média:
Integramos termo a termo. Primeiro, a integral da constante:
\int 20\,dt = 20t.
Agora a integral do termo trigonométrico. Lembre que a primitiva de \sin(k t) é -\frac{1}{k}\cos(k t), porque ao derivar \cos(k t) aparece um fator k pela regra da cadeia. Aqui k=\frac{\pi}{12}. Então
Interpretação final curta e incentivo: a temperatura média entre 9 h e 21 h é 20+\dfrac{12}{\pi}\,^\circ\mathrm{C}, ou cerca de 23,82^\circ\mathrm{C}. Bom trabalho por encarar a questão — você já domina a ideia: média contínua = integral sobre intervalo dividido pelo comprimento do intervalo. Continue assim!