Em uma certa cidade a temperatura ( \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C} ) t horas depois das 9 horas foi aproximada pela função
T(t)=20+6 \sin \left(\frac{\pi t}{12}\right)
Calcule a temperatura média durante o período entre 9 h e 21 h .

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura (em graus Celsius) t horas depois das 9 h:
T(t)=20+6\sin\!\left(\frac{\pi t}{12}\right)
Pergunta: calcular a temperatura média durante o período entre 9 h e 21 h.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{intervalo de tempo: das 9 h às 21 h} \Rightarrow t\in[0,12],à
pois t é o número de horas após as 9 h. A função T(t) está definida para t nesse intervalo.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática):
A temperatura média de uma função contínua T(t) num intervalo [a,b] é dada pela média aritmética contínua, que corresponde à integral da função dividida pelo comprimento do intervalo. A fórmula é
\overline{T}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} T(t)\,dt.
Aqui \overline{T} é a temperatura média, a e b são os extremos do intervalo de tempo, e \int_{a}^{b} T(t)\,dt é a área sob a curva T(t) entre a e b. Intuitivamente, somamos todas as temperaturas (no sentido contínuo) e dividimos pelo tempo total.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema: a=0 e b=12. Montamos a integral média:
\overline{T}=\frac{1}{12}\int_{0}^{12}\left(20+6\sin\!\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right)\,dt.
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 4

Integramos termo a termo. Primeiro, a integral da constante:
\int 20\,dt = 20t.
Agora a integral do termo trigonométrico. Lembre que a primitiva de \sin(k t) é -\frac{1}{k}\cos(k t), porque ao derivar \cos(k t) aparece um fator k pela regra da cadeia. Aqui k=\frac{\pi}{12}. Então
\int 6\sin\!\left(\frac{\pi t}{12}\right)\,dt =6\cdot\left(-\frac{1}{\frac{\pi}{12}}\cos\!\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right) = -6\cdot\frac{12}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi t}{12}\right) = -\frac{72}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi t}{12}\right).
Portanto uma primitiva de T(t) é
F(t)=20t-\frac{72}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi t}{12}\right).

Passo 5

Calculamos a integral definida avaliando F(t) entre 0 e 12:
\int_{0}^{12} T(t)\,dt = F(12)-F(0).
Calcule F(12):
F(12)=20\cdot 12-\frac{72}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi\cdot 12}{12}\right) =240-\frac{72}{\pi}\cos(\pi).
Como \cos(\pi)=-1, isso dá
F(12)=240-\frac{72}{\pi}\cdot(-1)=240+\frac{72}{\pi}.
Calcule F(0):
F(0)=20\cdot 0-\frac{72}{\pi}\cos(0)=0-\frac{72}{\pi}\cdot 1=-\frac{72}{\pi}.
Agora a diferença:
F(12)-F(0)=\left(240+\frac{72}{\pi}\right)-\left(-\frac{72}{\pi}\right) =240+\frac{72}{\pi}+\frac{72}{\pi} =240+\frac{144}{\pi}.

Passo 6

Dividimos pelo comprimento do intervalo ( 12) para obter a média:
\overline{T}=\frac{1}{12}\left(240+\frac{144}{\pi}\right) = \frac{240}{12}+\frac{144}{12\pi} =20+\frac{12}{\pi}.
Essa é a expressão exata (em graus Celsius). Podemos também dar uma aproximação numérica usando \pi\approx 3,1416:
\frac{12}{\pi}\approx 3,82,
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\overline{T}\approx 20+3,82=23,82^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo: a temperatura média entre 9 h e 21 h é 20+\dfrac{12}{\pi}\,^\circ\mathrm{C}, ou cerca de 23,82^\circ\mathrm{C}. Bom trabalho por encarar a questão — você já domina a ideia: média contínua = integral sobre intervalo dividido pelo comprimento do intervalo. Continue assim!

Resposta

\displaystyle 20+\frac{12}{\pi}\,^\circ\mathrm{C}\n
\displaystyle \approx 23,82^\circ\mathrm{C}

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