A densidade média do corpo humano é 985 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a densidade típica da água do mar é cerca de 1.020 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
A densidade média do corpo humano, após a inalação máxima de ar, muda para 945 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Conforme uma pessoa flutua na água do mar, inspira e expira vagarosamente, que percentual de seu volume se move para cima, fora da água, e para baixo, dentro d’água?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Dados fornecidos:
  • Densidade média do corpo antes da inalação máxima: \rho_{b1}=985\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Densidade média do corpo após inalação máxima: \rho_{b2}=945\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Densidade da água do mar: \rho_{w}=1020\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O enunciado pede:
  • Que percentual do volume do corpo se move para cima (fica fora da água) quando a pessoa inspira (isto é, a diferença entre volume submerso antes e depois da inalação).
  • E que percentual do volume se move para baixo (entra na água) quando a pessoa expira (a mudança inversa).

Passo 2

Conceito físico essencial (explicado passo a passo, sem pressa): Princípio de Arquimedes para um corpo flutuante.
  • Arquimedes diz que a força de empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado.
  • Para um corpo flutuando em equilíbrio, o empuxo iguala o peso do corpo. Em fórmulas:
\text{empuxo} = \rho_{w} V_{s} g
\text{peso do corpo} = \rho_{b} V g
onde:
  • \rho_{w} é a densidade do fluido (água do mar),
  • \rho_{b} é a densidade média do corpo (pode mudar com a respiração),
  • V é o volume total do corpo,
  • V_{s} é o volume submerso,
  • g é a aceleração da gravidade (cancela depois).
    Igualando empuxo e peso:
\rho_{w} V_{s} g = \rho_{b} V g \quad\Rightarrow\quad V_{s} = \frac{\rho_{b}}{\rho_{w}}\,V.
Conclusão prática: a fração do volume total que fica submersa é \dfrac{\rho_{b}}{\rho_{w}}. Essa relação é direta e muito útil na prova: para saber quanto afunda, basta dividir as densidades.

Passo 3

Calcular a fração submersa antes da inalação (usando \rho_{b1}).
\text{fração submersa inicial} = f_{1}=\frac{\rho_{b1}}{\rho_{w}}=\frac{985}{1020}.çã
Podemos simplificar numericamente:
\frac{985}{1020}=\frac{197}{204}\approx 0,965686\ldots
Ou seja, aproximadamente 96,5686\% do volume do corpo está submerso antes da inalação.

Passo 4

Calcular a fração submersa após a inalação máxima (usando \rho_{b2}).
\text{fração submersa final} = f_{2}=\frac{\rho_{b2}}{\rho_{w}}=\frac{945}{1020}.çã
Simplificando:
\frac{945}{1020}=\frac{63}{68}\approx 0,926470\ldots
Ou seja, aproximadamente 92,6471\% do volume está submerso após inalar.

Passo 5

Calcular a mudança de fração submersa (esta diferença é o percentual do volume que se move para cima, fora da água, quando inspira).
\Delta f = f_{1}-f_{2}=\frac{985-945}{1020}=\frac{40}{1020}.
Simplificando a fração:
\frac{40}{1020}=\frac{2}{51}\approx 0,039215686\ldots
Convertendo para percentual:
\Delta f \times 100\% \approx 3,9215686\%.
Interpretação clara: cerca de 3,92\% do volume total do corpo sai da água (aparece acima da superfície) quando a pessoa inala até a capacidade indicada. Na expiração o movimento é inverso: esse mesmo percentual ( 3,92\%) volta a submergir.

Passo 6

Uma pequena intuição numérica (exemplo para deixar claro; este passo é só ilustrativo — não é necessário para a resposta percentual):
  • Se a pessoa tem volume total V, o volume que se desloca é \Delta V=\Delta f\cdot V.
  • Por exemplo, para um corpo com V\approx 0,071\\ \mathrm{m^{3}} (aprox. uma pessoa de 70\\ \mathrm{kg} com densidade \sim985\\ \mathrm{kg/m^{3}}), o volume que emerge seria
\Delta V \approx 0,0392157\times 0,071\\ \mathrm{m^{3}}\approx 0,00279\\ \mathrm{m^{3}}\approx 2,79\\ \mathrm{L}.
Isso está na ordem de litros que os pulmões comportam, então o resultado faz sentido físico e é razoável.

Resposta

3,92\% do volume total move-se para cima (fora da água) durante a inspiração máxima.
3,92\% do volume total move-se para baixo (dentro d’água) durante a expiração.

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