A densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é f(x)=A x^2+B x para 1 <= x <= 9 e f(x)=0 para os demais valores de x. Sabendo que mu=E(X)=5, calcule as constantes A e B.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que X é uma variável contínua com densidade
f(x)=A x^2 + B x para 1<= x<=9
e zero fora disso. Sabemos também que a média é E(X)=5.
Conteúdo: probabilidade contínua (propriedades de densidade e cálculo de esperança).
O que vamos precisar:
- A condição de normalização integral1^9 f(x),dx =1.
- A fórmula da esperança E(X)=integral1^9 x,f(x),dx =5.
- Resolver o sistema de duas equações para achar A e B.

Passo 2

Primeiro usamos a normalização. Para uma densidade válida,
integral1^9 l(A x^2 + B xr),dx = 1
Vamos quebrar em duas integrais:
integral1^9 A x^2,dx = A[x^33]1^9 = Al(9^3-1^33r) = Acdot7283,
integral1^9 B x,dx = B[x^22]1^9 = Bl(81-12r) = Bcdot 40
Somando e igualando a 1:
Acdot7283 + Bcdot 40 = 1(Equação 1)çã

Passo 3

Agora a esperança:
E(X)=integral1^9 x,(A x^2 + B x),dx = 5
De novo, separamos:
integral1^9 A x^3,dx = A[x^44]1^9 = Acdot 1640,
integral1^9 B x^2,dx = B[x^33]1^9 = Bcdot7283
Então
Acdot 1640 + Bcdot7283 = 5(Equação 2)çã

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
(1) ; 7283A +40B =1
(2) ; 1640A + 7283B =5.
Para simplificar, multiplico cada equação por 3:
(1’) 728A +120B =3
(2’) 4920A +728B =15.
Dessa conta dá
A = -3472approx -0.006356, B = 15236approx 0.063559

Resposta

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