A densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é f(x)=A x^2+B x para 1 <= x <= 9 e f(x)=0 para os demais valores de x. Sabendo que mu=E(X)=5, faça o gráfico de distribuição acumulada, F(x), de X.

Passo 1

Resumindo a questão: temos uma v.a. contínua X com densidade
f(x)= A,x^2 + B,x, & 1 <= x <= 9, 0, & caso contrário á
Sabemos também que a média E(X)=5.
Conteúdo: probabilidade contínua, pdf↔cdf, normalização e cálculo de expectativa.
O que vamos usar:
  1. integral f(x),dx=1 pra achar A e B.
  2. E(X)=integral x,f(x),dx=5.
  3. Definição de cdf F(x)=integral-infty^x f(t),dt.

Passo 2

Primeiro, a normalização:
integral1^9 (A x^2 + B x),dx =1
Calculemos separadamente:
integral1^9 A x^2,dx = Al[tfracx^33r]1^9 = A,9^3-13 = A,7283,
integral1^9 B x,dx = Bl[tfracx^22r]1^9 = B,9^2-12 = 40,B
Logo a condição é
7283,A ;+; 40,B ;=;1 tag1
Depois, a expectativa:
E(X)=integral1^9 x,(A x^2 + B x),dx =5
De novo em partes:
integral1^9 A x^3,dx = Al[tfracx^44r]1^9 = A,(9^4/4 - 1/4) = 1640,A,
integral1^9 B x^2,dx = Bl[tfracx^33r]1^9 = B,7283
Daí vem
1640,A ;+; 7283,B ;=;5 tag2

Passo 3

Temos o sistema
7283A + 40B =1, 1640A + 7283B =5
Multiplicando ambas por 3:
728A + 120B =3, 4920A + 728B =15
Da primeira isolo B:
120B = 3 - 728A ;Longrightarrow; B = 3-728A120
Substituo na segunda e, após fazer as contas, acha-se
A = -3217552approx -0,04253, B = 1068137760approx 0,2833

Passo 4

Agora monta a cdf:
F(x)=integral-infty^x f(t),dt = 0, & x<1,[6pt] integral1^x (A t^2 + B t),dt, & 1<= x<=9,[8pt] 1, & x>9
Para 1<= x<=9:
integral1^x (A t^2 + B t),dt = Al[tfract^33r]1^x + Bl[tfract^22r]1^x = A,x^3-13 + B,x^2-12

Resposta

A função de distribuição acumulada de F(x)= 0, & x<1,[6pt] -3217552,x^3-13 ;+; 1068137760,x^2-12, & 1<= x<= 9,[10pt] 1, & x>9 é

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